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1、设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.D单连通区域D复连通区域一、区域连通性的分类§10.3Green公式平面区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿边界曲线L的正向行走时,区域D总在他的左边.L由L1与L2组成二、Green公式定理1:设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有其中L是D的取正向的边界曲线.公式(1)叫Green公式.(1)证明(1):若区域D既是X—型又是Y—型,即平行于坐标轴的直线穿过区域内部时与
2、边界L至多交于两点.yxoDLcdFEabAB同理可证:则yxoDLcdFEAB两式相加得:DL证明(2):若区域D由分段光滑的闭曲线L围成.以如图所示为例.ABCD1L1D2L2D3L3用线段AB,BC将D分成三个既是X—型又是Y—型的区域D1,D2,D3,其边界分别为CBA+L1,AB+L2和BC+L3.则DDL1L2L3ABEFGH添加直线段AB,EF.则区域D的正向边界曲线由EHA(L1),AB,L2,BA,AGE(L1),EF,L3及FE构成.证明(3):若区域D由不止一条闭曲线所围成,如图.则由证明(2)知,(其中
3、L是D的正向边界曲线)(其中L1,L2,L3构成D的正向边界曲线)Green公式的实质:沟通了沿闭曲线L上的对坐标的曲线积分与由L围成的闭区域D上的二重积分之间的联系.格林公式成立的条件：1）P,Q在D上具有一阶连续偏导数;2）L是闭路.格林公式的应用计算平面面积例1求椭圆所围成图形的面积A.例2设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得Ll例3计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.xyDLDxyo设平面曲线取正向，则曲线积分。（06）解：练习解xyoLyxo(注意格林
4、公式的条件)例4计算其中L是由A(0,一1)沿半圆周到B(0,1)。LA(0,一1)B(0,1)xyo解利用格林公式，注意L不是闭路,故加作辅助线：直线BAxyo如果在区域G内有yxoGAB1.曲线积分与路径无关的定义二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2设开区域G是一个单连通域,函数P,Q在G内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:2.曲线积分路径无关的条件(4)对G内任意闭曲线C:.(3)(x,y)G,;(2)在G内存在u(x,y),使得(1)在G内曲线积分与路径无关;称为Pdx+Qdy的原函数证明(1)(2)在D
5、内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(2)(3)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(3)(4)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(4)(1)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(4))注(1)定理条件:G-----单连通域,P,Q在G内有一阶连续偏导数,(2)求u(x,y):使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy注意根据定理2,若在某区
6、域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;（折线）解例7验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。例8验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数或小结1.连通区域及曲线的正向概念;2.二重积分与曲线积分的关系——Green公式;3.格林公式的应用.4.平面上曲线积分与路径无关的四个等价条
7、件与路径无关的四个等价命题条件等价命题练习1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点2.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则
