乘法公式经典题型及拓展

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1、乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)

2、=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz例1．已知，，求的值。解：∵∴=∵，∴=例2．已知，，求的值。解：∵∴∴=∵，∴例3：计算199

3、92-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。16解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y

4、、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024因为

5、当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2´100´3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2´200´2+22=40000-800+4=39204例8．计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2（

6、2）原式=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]=9x2-(y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）∵a2+b2=13，ab=6(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2

7、´6=25(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1（2）∵(a+b)2=7，(a-b)2=4a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=4②①+②得2(a2+b2)=11，即①-②得4ab=3，即16（3）由a(a-1)-(a2-b)=2得a-b=-2（4）由，得即即例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1´2´3´4+1=25=522´3´4´5+1=121=1123´4´5´6+1=361=192……得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数则n(n

8、+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(