第三节 绝对收敛与条件收敛

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1、第三节绝对收敛与条件收敛1.交错级数审敛法交错级数的概念、莱布尼茨定理2.绝对收敛与条件收敛绝对审敛原理、绝对收敛概念、条件收敛概念一、交错级数及其审敛法nn1设un0，称级数(1)uunn或者(1)为交错级数．nn11n1定理1(莱布尼兹定理)如果交错级数(1)un满足n1（1）unun1(n1，2，3，···)；（2）limun0，n则级数收敛，且其余项rn的绝对值

2、rn

3、un1．证明s2n(u1u2)(u3u4)(u2n1u2n)则{}s2n为单增数列，又s2nu1(u2

4、u3)(u2n2u2n1)u2nu1所以{}s2n为单增有界数列，因此极限lims2n存在，nlims2n1lim(s2nu2n)lims2n,因此lim=ssn存在，nnnn由前面证明过程可知su1.nn2nkr(1)u(1)u(1)unn1n2nk1nk(1)[uu(1)u]n1n2nk1ru.因此有nn1例1证明级数111n111(1)234n收敛，并估计和及余项．证这是一个交错级数．因为此级数满足11(1)un>

5、un1(n1,2,···)，nn11(2)limunlim0，nnn由莱布尼茨定理，它是收敛的，且其和s≦u11，余项1

6、rn

7、un1＝．n1例2判别下列级数的敛散性1nlnn(1)(1)n1ln(1);(2)(1);n2nn1nn2n(1)n12(3)(1);(4).nn1n!n1n1(1)11(1)uln(1)单减，limln(1)0,因此该级数收敛；解nnnnlnxx1lnln3ln4lnn(2)令fx(),fx()0(xe),因此数列,,,,

8、xx34nlnn单减，且lim0,所以该级数收敛；nn2(n1)221nu(n1)!2(3)n11,该级数发散；2un2n1nn!n(1)nnn11111(4)(1)(1),n2n1(1)nnnnnn11级数(1)收敛，2n=1nn1级数发散，n1n因此该级数发散．二、绝对收敛与条件收敛：1.绝对审敛原理定理2若级数uunn收敛,则级数一定也是收敛的.nn112.绝对收敛与条件收敛的概念若级数

9、un

10、收敛，则称级数un绝对收敛．n1n1若级数un收敛，

11、而级数

12、un

13、发散，则称级un条件收n1n1n1敛．11(1)nn111(1)n1例例103级数级数(1)是是绝对收敛的，而级数绝对收敛的，22nn11nnn1n是条件收敛的．定理2的证明11令vn(unun),wn(unun),则有220vu,0wu,nnnn由正项级数的比较审敛法可知级数vwnn与均收敛.nn11uvw,nnn因此级数un收敛.n1例4判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件敛，还是绝对收敛．sinnn11n1n12(1)3

14、;(2)(1);(3)(1);(4)sin(n1).n1nn1ln(1n)n121nn1sinn11sinn解(1)因为33,3收敛，3绝对收敛；nnn1nn1n(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；n11(3)因为lim,该级数发散；n2n1222nn(4)sin(n1)(1)sin[(n1n)](1)sin,2nn12limsin0,{sin}单减，级数sinn1收敛，n22n11nnnn1又n时，sin~,所以级数si

15、n发散，nn212n2n1nn1该级数条件收敛.n1例5设交错级数(1)unn(u0,n1,2,3,)条件收敛，证明n1级数u21n与u2n均为发散的.n1n1证明：记nu1u2un,nu1u3u2n1n1uuu,suu(1)un242nn12n由题设可知limssnn,lim,其中s为有限值，nns22nnn,,nnn若limn,,则有nlimlim(ss),由此可得nn2nnnliml

16、im()2s,矛盾，因此必有2nnnnnlim,同理有limn.nnn2