第三节 绝对收敛与条件收敛

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1、第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法二、级数的绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法1、定义:正、负项相间的级数称为交错级数.莱布尼茨定理只能用来判定交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛例1用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:解故原级数收敛.3、三点说明:(1)满足条件(i)(ii)的交错级数为莱布尼茨型级数.(2)两个条件(i)(ii)是交错级数收敛的充分条件.若不满足条件(ii),则交错级数必发散.若不满足条件(i),交错级数未

2、必发散.例如收敛.(3)应用莱布尼茨定理判断交错级数敛散性必须验证这两个条件,缺一不可.练习：判别下列级数的收敛性.收敛收敛收敛发散二、绝对收敛与条件收敛1、定义:一般项为任意实数的级数称为任意项级数.证明定理的作用：任意项级数正项级数级数绝对收敛;则(1)当01时,(2)当1时,级数发散;(3)当1时,级数敛散性需另行判定.定理(Page244)说明:解故原级数绝对收敛.例1判别下列级数的敛散性.若收敛,指出是条件收敛还是绝对收敛.故原级数发散.故原级数发散.(1)当p0时,级数发散;(2)当0

3、时,级数条件收敛;(3)当p>1时,级数绝对收敛.(1)当01时,级数发散.(绝对收敛)(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)敛散性与k有关.B(条件收敛)(条件收敛)解(1)当p0时,故级数发散.(2)当p>0时,当p>1时,故级数绝对收敛.当01时,级数绝对收敛.解(1)当x>1时,故级数发散.故:当0

4、敛;当x>1时,级数发散.(2)当x=1时,级数条件收敛.(3)当0