HBV传染病模型的稳定性与Hopf分支分析

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1、第37卷第4期应用数学学报V_0l_37No．42014年7月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAJuly，2014HBV传染病模型的稳定性与Hopf分支分析杨洪(黑龙江八一农垦大学理学院，大庆163319)(E—mail：yanghonghit@163．com)魏俊杰(哈尔滨工业大学(威海)理学院，威海264209)(E—mail：weijj@hit．edulcn)摘要分析HBV传染病模型的稳定性和持久性，其中易感染者的增长方式是Logistic型以及已感染者对易感染者的作用是非线性的．这样，使得模型更具有生物学意义．

2、针对该HBV传染病模型所对应的二阶超越特征方程根的分布进行分析，进而得到平凡平衡点的不稳定性．特别地，应用Beretta和Kuang的方法，给出在正平衡点处该模型Hopf分支的存在性条件．然后，基于Hassard的中心流形定理和规范型方法，推导出几个确定Hopf分支性质的计算公式．关键词传染病模型；非线性接触率；稳定性；超越方程；Hopf分支MR(2000)主题分类34K18中图分类O175．131引言本文主要研究HBV传染病模型如下：ss㈤(一)一二二2一下)(1．1)1+as(t-7_)R)=ai(t)一pR(t)本文2013年1月13日收到．

3、2013年4月11日收到修改稿．国家自然科学基金重点项目(11031002)和黑龙江省教育厅科学技术基金(12541593)资助项目4期杨洪，魏俊杰：HBV传染病模型的稳定性与Hopf分支分析697其中s(o)0，t(臼)0在一0<0是连续的，且s(o)>0，(0)>0．由于R(t)没有出现在系统(1．1)的前两个方程中，故系统的动力学性质不受R(t)的方程的影响，我们仅需要考虑系统其中s(o)0，()0在一7_0<0是连续的，且s(o)>0，(0)>02正平衡点的稳定性与Hopf分支的存在性一二十若有下列等式成立e一1一半)一=。且e-1+K>一

4、．+，0一那么系统(1．2)存在正平衡点E=(s，)，其中s，i都是依赖时滞丁的，且根据实际意义我们必须限制E：(8，i)是唯一的．㈤一柳J／—、／／＼，／图1系统(1．1)8与i的等斜线从图1中可以看出，显示出正平衡点存在当且仅当e-T干K>+盯，并且表明这种存在性依赖于时滞丁和其他的参数．下面我们分析系统(1．2)正平衡点处的稳定性．由于>0和盯>0，所以当7．趋于亍=1In丽，正平衡点就不存在了，即应满足7-<石1inK．系统(1．2)在正平衡点E=(s，i)处的线性化所对应的特征方程为+A(z)A+B(7-)+[CA+D0-)]e—=0．(

5、2．1)其中(一)+即)：[r(一)](C=一(+)，698应用数学学报37卷)=[r(一)．显然，方程(2．1)的系数A(7-)，B(丁)，和D(丁)是依赖时滞丁的，并且它们是从[0，。。)到R上的连续可微函数．为了方便起见，我们将(2．1)写成更一般的形式P(A，7I)+Q(A，7_)e=0，(2．2)其中P(A，丁)=+A(丁)+B(7_)，Q(，7-)=CA+D(丁)．这里P(I，丁)和Q(，丁)是关于的解析函数，并关于7-连续可微．在丁=0的情况下，特征方程(2．1)变为+[A(0)+】+B(0)+D(0)=0．(2．3)引理2．1如果条

6、件C-tt'rT干K>+盯和cr(一)+>。，其中s(0)=s，i(0)=1成立，那么A(0)+C>0，B(0)+D(0)>0．由引理2．1我们得到下面的定理．定理2．1如果C-K>+和(A1)成立，那么系统(1．2)的正平衡点E=(s，i)在丁=0处是渐近稳定的．下面假设丁>0并把丁作为分支参数，来研究正平衡点E的稳定性．根据f11的研究结果，我们给出关于系数依赖时滞丁的特征方程存在纯虚根的几何判别准则．对于>0和丁∈I，定义={7_0：存在(丁)>0，使得F(丁))=0}．(2．4)引理2．2如果条件C-it-r-T干K>+和(A2)A(7_)

7、+C>0，B(T)+D(7-)>0成立，那么必有如下结论成立：(i)P(0，丁)+Q(0，丁)≠0；(ii)P(ia，7-)+Q(u，7-)≠0；(iii)1irasupff0．(ii)P(，7-)+Q(i，7_)=(一+B(丁)+D(7-))+(A(丁)+C)iw≠04期杨洪，魏俊杰：HBV传染病模型

8、的稳定性与Hopf分支分析699(iii)由于P(入，下)是关于入的二次多项式，Q(入，下)是一次多项式，所以llim。。