5.1MOOC-向量基础知识

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1、计算机图形学第三章：二维图形观察及变换主要内容本章主要讲述向量、世界坐标系、用户坐标系、窗口与视区、齐次坐标、二维变换等。掌握要点向量、矩阵以及它们的运算坐标系的概念和坐标系之间的变换齐次坐标的概念二维图形的各种变换窗口与视区的变换一、向量1、向量为什么如此重要在计算机图形学中，主要处理三维世界中的物体对象。所有需要绘制的对象，都拥有形状、位置和方向等属性需要编写合适的计算机程序来大致描述这些对象，并描述出围绕在物体周围的光线强度计算出最终在显示器上的每一个像素的值在给定坐标系下，所求圆的圆心在哪里呢？如果不使用向量，这个

2、问题会很棘手在给定圆锥体、立方体和摄像机位置的前提下，怎样才能获得反射影像的准确位置，它的颜色和形状又如何？在图形学中，有两大基本工具能帮助我们实现上述要求：向量分析图形变换通过学习这些工具，可以设计出一些方法来描述我们所遇到的各种几何对象，并学会如何把这些几何方法转换成数字2、向量一些基础知识我们所使用的所有点和向量都是基于某一坐标系定义的从几何的角度看，向量是具有长度和方向的实体，但是没有位置而点是只有位置，没有长度和方向在几何中把向量看成从一个点到另一个点的位移。向量算法提供了一种统一的方法来对几何思想进行代数的表示

3、（1）向量的表示4P(1,3)V从P点到Q点的位移用向量3V2v=（3，-2）表示1Q(4,1)12345v是从点P到点Q的向量。两个点的差是一个向量：vQPvQP换个角度，可有说点Q是由点P平移向量v得到的；或者说v偏移（offset）P得到QQPv可以把向量表示成它所有分量的列表，一个n维向量就是一个n元组：w1w(w,w,...w)w112nwww2w2w3（2）向量基本运算向量允许两个基本操作：向量相加标量（实数）的数乘如果a和b是两个向量，s是一个标量，a+b

4、和sa都是有意义的a2,6b3,1ab5,72a4,12向量的加（减）法可以采用“平行四边形法则”ababaaac-cca2a-a（3）向量线性组合掌握了向量的加法和数乘，就可以定义任意多个向量的线性组合m个向量v,v,...,v的线性组合具有如下形式的向量：12mwavav...av1122nn23,161,20,10有两种特殊的线性组合在计算机图形学中很重要：仿射组合凸组合①仿射组合如果线性组合的系数a1,a2,...,am的和等于1，那么它就是仿射组合aa...

5、a112m②向量的凸组合凸组合在数学中具有重要的位置，在图形学中也有很多应用。凸组合是对仿射组合加以更多的限制得来的aa...a112mi1,2...,ma0i3、向量的点积和叉积有两个功能强大的工具一直推动着向量的应用：点积叉积点积得到一个标量，叉积产生一个新的向量（1）向量的点积aa,abb,b1212ababab1122也就是说，计算点积时，只需将两个向量相应的分量相乘，然后将结果相加即可ndvwviwii1点积最重要的应用就是计算两个向量的夹角，或者两条直线的夹角bc

6、bccos其中是b和c之间的夹角bccosbcbc由于两个向量的点积和它们之间夹角的余弦成正比，可以得出以下关于两个非零向量夹角与点积的关系：bc0090bc00900bc090余弦定理和新闻的分类谷歌、百度的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中如何设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性？用一个向量来描述一篇新闻当夹角的余弦接近于1时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关（2）向量的叉积两个向量的叉积是另一个三维向量。叉积

7、只对三维向量有意义。它有许多有用的属性，但最常用的一个是它与原来的两个向量都正交。a(a,a,a)b(b,b,b)xyzxyzijkabaaaxyzbbbxyz两个向量的叉积a×b是另一个向量，但是这个向量与原来的两个向量在几何上有什么关系，为什么对它感兴趣呢？①a×b和a、b两个向量都正交②a×b的长度等于由a和b决定的平行四边形面积ababsin()利用叉积求平面的法向量法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量yp1bpa3p2a×bxz将向量分析应用到几何场景处理中是

8、值得研究的内容把一个场景中众多向量的各种属性搜集起来，并将它们与在图形学中遇到的实际几何问题相结合，寻找出一个解决方案，将是非常有用的