第三讲 薄壁箱梁的弯曲剪应力

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1、第三讲薄壁箱梁的曲弯剪力应现代工程结构广泛使用薄壁结构，特别是桥梁工程，从特大跨径的悬索桥、大跨径斜拉桥，到中小跨径的连续梁桥，甚至简支梁桥等，多采用箱形截面的薄壁结构或桁架形式的薄壁杆件。如杭州湾跨海大桥，建设方采用设计施工总承包的招标方式，各投标单位均采用了钢箱梁斜拉桥和箱形截面混凝土连续梁桥形式。1、悬索桥：主要有美国式和英国式两种形式悬索桥。美国式悬索桥采用钢桁架加劲梁（如GoldenGatebridge，Verrazanobridge，日本的明石海峡大桥等）；英国式悬索桥采用钢箱梁（如Severnbridge，Humberbridge，我国的江

2、阴长江大桥，在建的润扬长江大桥南汊桥等）。2、斜拉桥：主梁多采用预应力混凝土或钢结构箱形截面。如日本多多罗大桥、南京长江二桥、等采用钢箱梁；而钱江三桥、招宝山大桥等采用预应力混凝土箱形梁。3、悬壁梁桥、T型刚构桥、连续梁桥：多采用预应力混凝土箱梁作主梁。如虎门大桥辅航道桥、南京长江二桥北汊桥、钱江二桥、钱江五桥、钱江六桥等。薄壁杆件在弯扭变形时，其正应力和剪应力分布及大小与通常的实体截面杆件差别很大，且开口截面与闭合截面杆件在相同受力情况下其正应力和剪应力也大不相同。因此，有必要对开口截面和闭合截面杆件分别加以讨论。第一节坐标系的建立薄壁杆件分析中，常取

3、杆件的中面（到两纵向表面距离相等的面）来表示杆件，取横截面的中线表示横截面。应用的坐标系有两种，如图3-1所示。其一是以截面某一特定点为原点（如形心）的xyz固定坐标系，取杆件轴线为轴，坐标轴正向符合右手法则；或者为了运算方便，采用曲线z坐标，即在截面上选定一原点o，以自原点o量取的截面中线（曲线）长为坐标量值，取s逆时针方向为正，于是截面上任意点p的位置可表示为p(x,y,z)或p(s,z)。其二是以截面上任意点p为原点的pnτz动坐标系，z轴平行于杆件轴线，τ为p点处截面中线的切线，为相应的外法线，三者之间也符合右手法则。nyysnp(s,z)xxτ

4、ooz图3-1二种形式坐标系第二节薄壁杆件弯曲基本假定薄壁杆件尺寸限制：杆件的宽度与长度之比（d/l）和壁厚与宽度之比（t/d）均小于（或等于）0.1。薄壁杆件弯曲分析中采用以下基本假定：1、平面假定。即假定杆件变形后横截面仍保持为平面，据此，截面上任一点P(x,y)的纵向应变为：ε=ε(x,y)=a+bx+cy（3-1）式中。、、为待定常数。abc2、线性假定。即应力与应变呈线性关系，满足虎克定律。σ=Eετ=Gγ（3-2）其中E、G为弹性常数。将式（3-1）代入上式便有：σ=E(a+bx+cy)（3-3）表明杆件横截面上的正应力也呈线性分布。3、小变

5、形假定。即忽略杆件变形引起的二次力的影响，与假定“2”相联系，表明本书的讨论限干线弹性分析，因此适用叠加原理。4、假定弯曲剪应力沿壁厚均匀分布。据此，单位周边中线长度上的剪力流q(z,s)可用剪应力τ(z,s)与壁厚t(s)的乘积来表示。即q(z,s)=τ(z,s)t(s)或：q=τt（3-4）在研究弯曲变形时，假定无扭矩作用，且轴向力沿杆轴无变化（N=常数）或等于零。第三节不考虑剪力滞弯曲正应力及惯性主轴一、弯曲正应力取截面形心C为原点，建立xyz坐标系如图3-2所示，现以静力学条件确定式（3-1）中的待定常数、ab、。cy,vσPsσdAt∂ττMx

6、Oτ+dsx,u∂sNdzMyz∂σdsσ+dz∂zBs=s0图3-2∑z=0N=∫AσdA=E(a∫∫AAdA+b∫AxdA+cydA)2∑mx=0Mx=∫∫YσdA=E(aydA+b∫xydA+c∫ydA)（3-5）AAAA2m=0M=xσdA=E(axdA+bxdA+cxydA)∑yy∫A∫∫AA∫A上述各式中的积分仅与截面形状和尺寸有关，分别表示截面的几何特性。其中：∫dA=A截面积AydA=S截面对x轴的静矩∫xAxdA=S截面对y轴的静矩∫yA2ydA=I截面对x轴的惯性矩（3-6）∫xA2xdA=I截面对y轴的惯性矩∫yAxydA=I截面对

7、xy轴的惯性矩∫xyA注意到坐标系以截面形心为原点，因此有∫AydA=Sx=0，∫AxdA=Sy=0。将以上各式代入式（3-5），解方程组得：Na=EAMI−MIyxxxyb=（3-7）2E(II−I)xyxyMI−MIxyyxyc=2E(II−I)xyxy式（3-7）代入式（3-3），有：NMyIx−MxIxyMxIy−MyIxyσ=+x+y（3-8）22AII−III−Ixyxyxyxy为分别表达M、M的作用，上式可改写为：xyNIyy−IxyxIxx−Ixyyσ=+M+M（3-9）2x2yAII−III−Ixyxyxyxy二、几种特例1、N=0MI

8、−MIMI−MIyxxxyxyyxyσ=x+y（3-10）22II−III−Ix