马步循环(批注版)

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1、“马步循环”新问题华南师大附中高三（2）班顾家齐指导老师罗碎海中国象棋与国际象棋之间有许多重大差异，前者的棋子放在纵横直线的交叉点上，而后者的棋子却放在格子内部。大家知道，中国的象棋的“马”是走“日”字（直立或卧倒的“日”字都行），蹩脚马就不能走动。国际象棋里也有“马”，也是斜着走：横两格直一格或横一格直两格，但无“扎马脚”的限制，所以行动更灵活。123456国际象棋里的“马”可以从棋盘上的任何一格出发，不重不漏地走遍整个棋盘上的每一个格子，最后回到原先的出发点，这就是所谓的“马步循环”问题，在数学历史上被欧拉等

2、数学家圆满解决。今天我们探讨一个新问题：图一1、问题：现有一个6×6的国际象棋棋盘（图一），一只马能否六步（包括把马放到棋盘上的一步）内把棋盘的所有行和列都走遍？答案：不可能。图二证明：我们从最后两步开始思考。假设存在满足要求的走法，则前四步走过了4行、4列，只剩两行两列未走过，而这未走的两行两列交汇形成了一个2*2的可行范围。由于这个2×2的范围内还有一步可走，所以这个范围必为图二的形式。（其中非阴影区域为可行范围，阴影区域为不可行范围，下同）。不妨设这个范围是横着放在图一的棋盘上的，占据A、B、C、D、E、F

3、中连续的三列，占据1、2、3、4、5、6中相邻的两行。若这个范围占据2与3两行或3与4两行或4与5两行，那么前四步中必定会出现马一步迈过三行或以上（以2与3为例，前四步走过了1、4、5、6四行，其中必有一步是从第1行迈向4、5、6三列或从4、5、6三列迈向第1列的），这违反了马走“日”字的规定。因此这个范围只能占据1与2或5与6。由对称性，不妨设这个范围占据5与6两行。同时，这个范围可能占据ABC或BCD或CDE或DEF，由于图形对称性，只研究CDE和DEF两种情况。图四图三若为DEF，则前四步只走过A、B、C、

4、E四列，1、2、3、4四行。若第二步或第三步落在E列，则上一步与下一步都落在C列，无法在六步内走过全部六列（抽屉原理）。因此马只能在第一步或第四步落在E列。不妨设其第一步落在E列，则第二步落在C列。这其中共有六种情况：E1目测图四要旋转90°→C2，E2→C1，E2→C3，E3→C4，E3→C2，E4→C3。这六种情况后的第三、四步的可行范围如图三、图四。其中图三对应E1→C2，E2→C1，E3→C4，E4→C3四种情况，图四对应E2→C3，E3→C2两种情况。显然，无法完成第三、四步。若第四步落于E列，同理可得

5、亦不可行。若为CDE，同理F列必为第一步或第四步的落点，亦不可行。综上，不存在满足要求的走法。2、问题推广将问题推向任意正整数n，满足要求的走法是否存在呢？（为第一步，为第二步，依次类推）4*4的情况漏一种ABCD1234对于4*4格子，由对称性知起点位置有三种A1，B1，B2再由对称性合并了一些情况只有第2种和第4种是可以循环的（3）3×3，存在（2）2×2，不存在（1）1×1，当然存在（4）4×4，存在（3种）（5）5×5，存在（8）8×8，存在（6）6×6，不存在，已证（7）7×7，存在3、一般结论（1）猜

6、想：n=4k、4k+1、4k+3时存在满足要求的走法，n=4k+2时不存在满足要求的走法。但为什么是这样呢？4可能是一个周期。回过头去看看4×4的第二种走法与8×8的走法，可以发现4×4是一个可以无限循环的走法（我们不妨称它为循环节）。所以只需要k次重复，任何4k×4k的棋盘都有满足要求的走法。因此n=4k时必存在满足要求的走法。n=4k+1与4k+3呢？其实，我们可以把它们分开为三部分——4k部分，1部分，3部分。1部分3部分4k部分A端·····································

7、···········································································第4k-3步···········第4k-1步···········第4k-2步···········第4k步3部分··················································································································4k部分（A端）4k部分

8、（B端）··························································································第4k-3步···············第4k-1步···············第4k-2步···············第4k步···············第4k+1步1部分其中