2011届高三数学一轮复习巩固与练习：导数及其应用

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1、巩固1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为(　　)A．k1>k2B．k1k2.2．设y＝－2exsinx，则y′等于(　　)A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)解析：选D.∵y＝－2exsinx，∴y′＝(－2ex)′sinx＋(－2ex)·(sinx)′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．[来源:学§科§网]

2、3．已知m<0，f(x)＝mx3＋，且f′(1)≥－18，则实数m等于(　　)[来源:学#科#网]A．－9B．－3C．3D．9解析：选B.由于f′(x)＝3mx2＋，故f′(1)≥－183m＋≥－18，由m<0得3m＋≥－183m2＋18m＋27≤03(m＋3)2≤0，故m＝－3.4．(2009年高考福建卷)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2ax＋，x∈(0，＋∞)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即2ax＋＝0在(0，＋∞)有解，∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)5．如图，函

3、数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.[来源:学科网ZXXK]∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.答案：26．若曲线y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值．解：∵曲线y＝x3－2ax2＋2ax，∴该曲线上任意点处切线的斜率k＝y′＝3x2－4ax＋2a.又∵切线的倾斜角都是锐角，∴k>0恒成立，即3x2－4ax＋2a>0恒成立．∴Δ＝(－4a)2－4×3×2a＝16a2－24a<0，∴0

4、已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为(　　)A．1－cos1B．1＋cos1C．cos1－1D．－1－cos1解析：选B.因为f′(x)＝cosx＋，则f′(1)＝cos1＋1.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是(　　)A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末解析：选D.∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0得，t2－3t＋2＝0，解得t1＝1，t2＝2.3．下列求导数运算正确的是(　　)A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx

5、)′＝－2xsinx解析：选B.(x＋)′＝1－，A错；(3x)′＝3xln3，C错；(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx，D错；故选B.4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(　　)解析：选B.设二次函数为y＝ax2＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又∵a<0，故选B.5．曲线y＝x3＋x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)A.B.C.D.解析：选D.易知点T为切点，由f′(1)＝2，故切线方程为：y＝2x－，其在两坐标轴的截距分别为，－，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××

6、－

7、＝.6．(2009年高

8、考安徽卷)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是(　　)A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析：选D.∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]．∴sin(θ＋)∈[，1]．[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴2sin(θ＋)∈[，2]．7．已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________．解析：由题可解得P(1，－4)，则由y′＝－4可得曲线C在P处的切线斜率为k＝y′

9、x＝1＝－3，故切线方

10、程为y－(－4)＝－3(x－1)即3x＋y＋1＝0.答案：3x＋y＋1＝08．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线的斜率，所以f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：39．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象