3.1一维晶格振动

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1、第三章晶格振动与晶体热力学性质□一维晶格的振动□三维晶格的振动□简正振动声子□晶格振动热容理论复习：简谐振动与简谐波简谐振动:物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。弹簧振子谐振动方程及解KFXFkx0x2dx2Fkxm谐振动微分方程：dx2x02dtdt2方程的解：：xAcost0isint0运动学方程：xAcost0复习：简谐振动与简谐波xAcostAcos2ft00位移(x)：从平衡位置指向物体所在位置的有向线段.振幅(A):振动物体

2、离开平衡位置的最大距离，它等于振动位移的最大值。反映了振动强弱和振动能量大小.频率(f)——单位时间内振动物体完成全振动的次数.x波动方程：yAcost0vx2it0i()xtyAevAe第三章晶格振动与晶体热力学性质晶体中原子的平衡位置虽有周期性，但原子数目很大，原子间存在着相互作用，任一原子的位移至少与相邻原子、次邻近原子的位移有关，故实际上晶格振动很复杂.晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究:先计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解波方程第三章晶格振

3、动与晶体热力学性质□一维晶格的振动□三维晶格的振动□简正振动声子□晶格振动热容理论1.一维布拉菲格子的振动一维晶格由质量为m的全同原子构成;a:相邻原子平衡位置的间距;u：序号为n的原子t时刻离开平衡位置的位移;nraun1un晶格振动时序号n和n+1的两原子间在t时刻的距离.U(r)两原子间相互作用势.平衡位置附近U(r)与U(a)相差不大，将U(r)在平衡位置附近展成泰勒级数：23dU1dU21dU3U(r)U(a)()(ra)()(ra)()(ra)......a2aadr2dr6dr323dUdU1dU2相互作用力：f(r)()()(r

4、a)()(ra)......a2aadrdr2dr31.一维布拉菲格子的振动两原子间相互作用力：23dUdU1dU2f(r)()()(ra)()(ra)......a2aadrdr2dr3rauu2n1ndU令：()，忽略上式非线性小量，2adrf(uu)n1n得到第n个原子与第n1个原子的互作用力：(un1un)0向右的拉伸力f(un1un)(un1un)0向左的排斥力第n个原子受力：f(uu)-(uu)(uu-2u)n1nnn-1n1n-1n2dunm(uu-

5、2u):n1,2,3......2n1n-1ndt1.一维布拉菲格子的振动2du第n个原子的动力学方程：mn(uu-2u):(n1,2,3.......n)2n1n-1ndt除了原子链两端的两个原子外，其他原子都有一个类似方程.玻恩-卡门周期边界条件：在实际晶体外，仍有无限多个相同的晶体相联结，各晶体对应原子的运动情况都一样.实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述.1.N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点2.N很大，原子运动近似为直线运动3.处理问题时要考虑到环链的循环性2du第n个原子的动力学方程：m

6、n(uu-2u):(n1,2,3.......n)2n1n-1ndtA:振幅；i(qnat)动力学方程解：unAe:：圆频率；qna:序列号为n的原子在t0时刻的振动相位；2i(xt)波动方程解:yAe一xna：从坐标原点数第n个原子距离原点的距离；维布比较两式:2q:格波的波矢,属于倒格空间物理量；拉i(naqt)菲uAe:niqna()t格序列号为n的原子原子位移：uAen''子''iqna(t)iqann()序列号为n的原子原子位移：uAeuenn的2lnn'

7、uunn'振qa任意时刻原子位移有一定的周期分布：若动nn'（2l1)uu即原子的位移构成了波格波nn'qa简谐近似下，格波为简谐波.1.一维布拉菲格子的振动简谐近似下，格波为简谐波向右的箭头:原子沿X轴正向振动向左的箭头:原子沿X轴负向振动1.一维布拉菲格子的振动简谐近似下，格波为简谐波向上的箭头:原子沿X轴向右振动向下的箭头:原子沿X轴向左振动i(naqt)格波方程uAe:n2格波波长q2格波波矢qn格波相速度v/qp