清华大学微积分高等数学课件第18讲定积分三

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1、作业P176习题6.316.19.20.P182习题6.43(2)(6).5.7(3)(7).9.P186习题6.54.5.25.预习:P198—2108/14/20211第十八讲定积分（三）一、定积分的换元积分法（例题）二、定积分的分部积分法三、综合例题8/14/20212一、定积分的换元积分法定理1:(定积分的换元积分法)8/14/20213[证](1)8/14/20214为什麽?定积分与积分变量所用字母无关！［例如］:从而由换元公式，得8/14/20215[例2][例3][解][解]8/14/20216[证]（1）（2）（3）证(1)

2、+(3)=08/14/20217所以例如8/14/20218二、定积分的分部积分法定理2:(定积分的分部积分法)8/14/20219[证]利用牛顿—莱布尼兹公式8/14/202110即8/14/202111[解]8/14/202112[解]8/14/202113[解]8/14/2021148/14/2021158/14/202116三、综合例题[证明]两边积分[例1]8/14/202117几何解释：即8/14/202118柯西-许瓦兹不等式[证]两边积分关于t的二次三项式的判别式即8/14/202119分析：右边是一次积分，左边是两次积分，

3、左边算出一次。8/14/202120可以应用定积分计算的量有如下特点:1、微元分析法四、定积分应用8/14/202121关键是部分量的近似8/14/202122微分近似微元分析法8/14/2021232、几何应用（一）平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形面积的计算根据定积分的定义和几何意义知8/14/202124面积微元8/14/202125[解]8/14/2021268/14/202127[解]8/14/202128面积微元2.极坐标系下平面图形面积的计算8/14/202129[解]8/14/2021303.参数方程下求图形面积8/14

4、/202131[解]8/14/202132