网络上的病毒传播问题

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1、网络上的病毒传播问题温罗生重庆大学数理学院Tel:13594173719Email:wenluosheng@tom.com一、题目病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感－感染－易感”（SIS）模型是研究者经常的选择。关于SIS模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率（β）被感染，同时，已感染的个体以概率（δ）被治愈又重新成为健康（易感）的个体。实际中大量的问题可以利用网络（图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体（人、动物、计算机等）可以

2、看作网络的节点，当个体之间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康的（易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，由于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度（边数）。所谓二部网络（图），是网络中的节点可分成两类（比如A类和B类，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际的情况。因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒

3、传播问题具有理论和实际的意义。本题主要研究二部网络上的病毒传播问题，附件提供了一个二部网络（由10000个A类节点和10000个B类节点构成）的节点度的数据，如数据的第一行表示A类的1号节点有96条边，B类的1号节点有21条边。试根据数据完成以下的任务：1，根据附件提供的数据，选择适当的坐标，作出节点连接度和其概率的图形。2，生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一个小型的二部图，随后在A类中加入一个新节点并向B类中的节点连边，该边指向B类中i号节点的概率正比于i号节点当前的连接度，而后在B类中产生新节点，以同样的方式向A类连边，当这两个步骤进行足够多次之后即可得到满足数据文

4、件特点的网络。根据这里所提供的生成机制，发现节点连接度分布的表达式。3，在这类二部网络上考虑“易感－感染－易感”（SIS）模型，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。(参数δ＝0.1,考虑到两类个体的感染率可以不同，分析中假定A类个体的感染率为B个体感染率的2倍，即βA=2βB，并分别取B类个体的感染率βB=0.01,0.015,0.02,0.025)。注意：考虑PC机的计算速度，模拟时网络规模不要太大，可选择1000＋1000的二部网络。4,对问题3的模型进行理论的分析，看看是否和你的模拟结果一致。二，问题的背景及设计思路问题来源于本人关于二部网络上病毒传播的研究

5、。性传染病是该问题的一个具体背景，当仅仅考虑异性病毒传播时，性传播网络构成一个二部网络，其上的病毒传播就是异性病毒传播。相对于当前的研究，网络的二部特性是当前研究传染病病毒传播中还不曾研究的问题。传染病模型是大家比较熟悉的模型，可以根据不同的假设得到几种常见的模型：比如SI模型，SIS模型，SIR模型，SIRS模型等等，其中SIS模型经常作为性传染病的模型。一般而言，因为实际情况中两性的感染率不一致，这样使得研究两性的SIS模型有很强的实际意义。这也是考虑二部网络的原因。最近的一些研究表明，性接触网络往往不满足随机图的假定，也就是网络的节点度不满足Poisson分布，而是和所谓

6、的幂率分布比较接近，幂率指数在2到4之间。和前面提到的情况一起，问题就成为我们题目中所主要研究的二部无标度网络上的病毒传播问题。对于本题的设计思路，从上面的背景可以看出，网络的特点是本题的一个研究重点，还有一个就是二部（也就是异性性传播）的特点，这两者是当前网络上难以找到的也是比较新颖的。前面的两个问主要引导大家解决题目的第一个特点，也就是了解网络的性质。在题目中没有直接提到幂率分布等关键词的原因是让同学们根据对问题研究的加深在网络上找到自己需要的信息。希望在接触实际问题时，既要善于收集已有的资料，也要加强自己对问题本身的理解。后面的两个问题，则是题目的主要研究问题。如何确定在

7、二部无标度网络上的病毒传播问题，需要理论和实验的结果一起加以说明。同样，理论结果需要考虑网络的拓扑性质，此外，模拟则需要使用前面关于网络生成过程的描述以便产生网络并使用随机模拟的方法进行。当然，这些问题的解决没有非常现现成的东西，需要在理解同类问题的方法的基础上靠自己解决。从同学们所提交的答卷来看，部分同学通过查找资料已经发现所考虑的接触网络不是Poisson分布这一特点，但未能对已有的理论进行自己的加工和研究。而对于后面的两个问题，甚至对题目所给出的信息不管不顾，直接套用现有的一些结果。三