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《概率论于数理统计4.1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1随机变量的数学期望引例(射击问题)设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率4.1.1数学期望的概念1解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量X.2平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值这是以频率为权的加权平均这是以概率为权的加权平均3“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加数学期望的概念源于此4设X为离散r.v.,其分布为若无穷级数其和为X的数学期望,记作E(X),即绝对收敛,则称定义1
2、5射击问题“平均射中环数”应为随机变量X的数学期望6关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.7随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.
3、8设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望,记作E(X),即数学期望的本质——加权平均它是一个数不再是r.v.定义29例1X~B(1,p),求E(X).解例2X~N(,2),求E(X).解10例3设X~参数为p的几何分布，求E(X).解11常见r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()12分布期望概率密度U(a,b)E()N(,2)13注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!14(1)设离散r.v.X的概率分布
4、为若无穷级数绝对收敛，则(2)设连续r.v.的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分4.1.2r.v.函数Y=g(X)的数学期望15(3)设离散r.v.(X,Y)的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数16(4)设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛,则若广义积分17例4设(X,Y)~N(0,0,1,1,0),求的数学期望.解184.1.3数学期望的性质1oE(C)=C2oE(aX)=aE(X)3oE(X+Y)=E(X)+E(Y)4o当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).常数19性质4的逆命题
5、不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立.注反例1XYpij-101-1010p•jpi•20XYP-101但21反例222但23例5求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.解若设i=1,2,…,n24可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.则X=X1+X2+…+Xn=np因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=E(Xi)==p25例6把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个
6、数的数学期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解设巧合个数为X,k=1,2,…,n则故引入26例7设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解27由数学期望性质X,Y独立284.1.4数学期望的应用案例1发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则29
7、每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为30案例2如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.31据统计65岁的人在10年内正常死亡解案例3的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保
8、,公司期望总获益多少?设Xi表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0
