概率论与数理统计4.1-4.2.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差与相关系数前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量X的概率分布，那么关于X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望的引例例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，73，60，则他们的平均成绩为以频率为权重的加权平均数学期望的引例变形

2、：现将这7个成绩(90,85,85,80,80,73,60)写在7张纸条上，放入一袋中。现从袋中任取一张纸条，用X表示抽到的成绩，则X分布律为：若用E(X)表示X的平均值，即抽到的平均成绩，应有随机变量的平均值(即期望)是以概率为权重的加权平均数学期望E(X)MathematicalExpectation一维离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的概率分布为若级数绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望(简称期望)或均值，记作E(X)，即若级数不绝对收敛，则称X的期望E(X)不存在。关于定义的几点说明(2)当随机变量取值有限时，数

3、学期望一定存在；当随机变量取值无穷时，要求级数要绝对收敛，数学期望不一定存在。(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。(3)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.XP数学期望的计算例：一批产品中有一、二、三等及废品4种，相应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级的产值分别为10元，5.8元，4元及0元，求这批产品的平均产值。解

4、：设一个产品的产值为X元，则X的分布律为：=0+4×0.13+5.8×0.2+10×0.6=7.68练习：一个盒中装有2个白球，3个黑球，每次从中任取一个，直到取得白球为止。求取球次数X的数学期望.（1）每次取出的球不再放回；（2）每次取出的球再放回。试问哪个射手技术较好?应用：谁的技术比较好?甲乙两个射手，他们射击的分布律分别为乙射手甲射手甲射手的平均击中环数为9.3环；乙射手的平均击中环数为9.1环；甲射手的技术比较好.0-1分布：常见分布的数学期望二项分布：若X~B(n,p)，则E(X)=1p+0(1-p)=pXP泊松分布

5、：若X~π(λ)，则随机变量函数的数学期望设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是Y=g(X)的期望。那么，如何计算呢？一种方法是：先求出Y=g(X)的分布，再按照期望的定义把E[g(X)]计算出来。---比较麻烦那么,可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算E[g(X)]呢？答案是肯定的，且有如下公式：随机变量函数的数学期望定理：设Y=g(X)是随机变量X的函数，若X为离散型随机变量，其分布律为则Y的数学期望为该公式的重要性在于：当我们求E[g(X)]时,不必求g(X)的分布，而只需

6、知道X的分布足矣。这对求g(X)的期望带来了极大方便。数学期望的计算例：设随机变量X的分布律为：XP定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为：二维离散型随机变量则Z=g(X,Y)的数学期望为:数学期望例1：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为：YX1211/81/421/21/8利用一维X的边缘分布。数学期望一维连续型随机变量设X是连续型随机变量，密度函数f(x)在数轴上取很密的点x0

7、+1)上阴影面积≈由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可用xi来近似地替代。近似，故数学期望是因此,X与以概率取值xi的离散型r.v.数学期望一维连续型随机变量定义：设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分有限，则称为X的数学期望。如果积分发散，则称X的数学期望不存在。即：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.数学期望的计算例1：已知随机变量X的密度函数为求X的数学期望。解：定积分的对称性均匀分布：若X~U[a,b]，则常见分布的数学期望指数分布：若X~E(λ)，则正态分布：若，则柯西分布：（P

8、89例4）E(X)不存在例2：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时,计算P(1000