概率论于数理统计

《概率论于数理统计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7.3区间估计上一节，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.1引例已知X~N(,1),不同样本算得的的估计值不同，因此除了给出的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.随机区间包含参数真值的概率称为置信概率，置信度或置信水平.的无偏、有效点估计为随机变量常数2习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.小的区间，

2、使根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出一个尽可能置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.称区间为的置信区间.置信水平为的3寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.使得称为与之间的误差限.我们选取未知参数的某个估计量，根据置信水平，可以找到一个正数，只要知道的概率分布，确定误差限并不难.4可以解出：由不等式这个不等式就是我们所求的置信区间.57.3.1置信区间的定义设是一个待估参数，给定满足若由样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度、置

3、信概率）为的置信区间或区间估计.分别称为置信下限和置信上限.6(2)反映了估计的可靠度,越小,越可靠.(1)置信区间的长度反映了估计精度，越小,1-越大,估计的可靠度越高,但关于定义的几点说明越小,估计精度越高.这时,往往增大,因而估计精度降低.7求参数置信区间保证可靠性先提高精度再处理“可靠性与精度关系”的原则(3)确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个.8如取=0.059我们总是希望置信区间尽可能短.对任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.

4、10在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b11即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.12例如137.3.2求置信区间的一般步骤(共3步)(1)寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).例如—称为枢轴量取枢轴量14(2)给定置信度1,定出常数a,b,使得(3)由解出得置信区间15(一)一个正态总体X~N(2)的情形7.3.3置信区间常用公式

5、(1)方差2已知,的置信区间推导由选取枢轴量16由确定解得的置信度为的置信区间为17(2)方差2未知,的置信区间由确定故的置信区间为推导选取枢轴量18(3)当已知时,方差2的置信区间取枢轴量得2的置信度为置信区间为由概率19(4)当未知时,方差2的置信区间选取得2的置信区间为••则由20例1某工厂生产一批滚珠,其直径X服从解(1)即正态分布N(2),现从某天的产品中随机(1)若2=0.06,求的置信区间(2)若2未知,求的置信区间(3)求方差2的置信区间.抽取6件,测得直径为

6、15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信度均为0.9521由给定数据算得由公式(1)得的置信区间为(2)取查表由给定数据算得22由公式(4)得2的置信区间为(3)选取枢轴量查表得由公式(2)得的置信区间为23(二)单侧置信区间上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.24于是引入单侧置信区

7、间和置信限的定义：设是一个待估参数，给定满足若由样本X1,X2,…,Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.25又若统计量满足则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信上限.26例2已知灯泡寿命X服从正态分布,从中随机抽取5只作寿命试验,测得寿命为1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限.解未知取27(1)选取枢轴量(2)选取枢轴量2829为取自总体N(112)的样本,为取自总体N(222)的样本

8、,置信度为1.分别表示两样本的均值与方差,(三)两个正态总体的情形30相互独立,的置信区间为(1)已知,的置信区间31(2)未知(但)的置信区间32的置信区间为33相互独立,(3)未知,n,m>50,的置信区间的置信区间为因此34令Zi=Xi-Yi,i=1,2,…,n,可以将它们看成来自正态总体Z~N(12,12+22)的样本仿单个正态总体公式