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1、中国科学E辑信息科学2006,36(2):113~136113分数阶Fourier变换在信号处理领域*的研究进展1**1,21陶然邓兵王越(1.北京理工大学电子工程系,北京100081;2.海军航空工程学院电子工程系,烟台264001)摘要分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广.最早由Namias以数学形式提出,并很快在光学领域得到了广泛应用.而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘.尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解,而实质上分数阶Fourier变换更具有
2、时频旋转的特性,它是一种统一的时频变换,随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征.从信号处理的角度对分数阶Fourier变换的研究进展作全面的总结和系统的归纳,力图将分数阶Fourier变换从定义到应用的全程都清晰地刻画出来,既能为相关的专业研究人员提供参考,又可以为感兴趣的读者提供入门的阶梯.关键词分数阶Fourier变换信号处理时频分析自从法国科学家Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法首次提出Fourier分析技术以来,Fourier变换迅速得到了广泛应用,在科学研究与工程技术
3、的几乎所有领域发挥着重要的作用.但随着研究对象和研究范围的不断扩展,也逐步暴露了Fourier变换在研究某些问题的局限性.这种局限性主要体现在:它是一种全局性变换,得到的是信号的整体频谱,因而无法表述信号的时频局部特性,而这种特性正是非平稳信号的最根本和最关键的性质.为了分析和处理非平稳信号,人们提出并发展了一系列新的信号分析理论:分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分布、Gabor变换、小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等.而分数阶Fourier变换作为Fourier变换的广义形式,由于其
4、独有的特点(本文后续部分将逐步展开阐述)而受到了众多科研人员的青睐,近10年来关收稿日期:2005-05-23;接受日期:2005-10-18*国家自然科学基金资助项目(批准号:60572094)和高校青年教师奖资助项目及国家部委基金资助项目(6140445)**E-mail:rantao@bit.edu.cnSCIENCEINCHINASer.EInformationSciences114中国科学E辑信息科学第36卷于分数阶Fourier变换理论与应用的研究成果层出不穷,掀起了一个不小的高潮.1980年Namias从特征值和
5、特征函数的角度,以纯数学的方式提出了分数阶[1]Fourier变换(fractionalFouriertransform,FRFT)的概念,用于微分方程求解.其[2]后,McBride等用积分形式为分数阶Fourier变换作出了更为严格的数学定义,为其后从光学角度提出分数阶Fourier变换的概念奠定了基础.1993年Mendlovic和[3,4]Ozaktas给出了分数阶Fourier变换的光学实现,并将之应用于光学信息处理.由于分数阶Fourier变换采用光学设备容易实现,所以在光学领域很快便得到了广[5]泛应用.尽管在信
6、号处理领域分数阶Fourier变换具有潜在的用途,但是由于缺乏有效的物理解释和快速算法,使得分数阶Fourier变换在信号处理领域迟迟未得到应有的认识.直到1993年Almeida指出分数阶Fourier变换可以理解为时频平面的旋转,1996年Ozaktas等提出了一种计算量与FFT相当的离散算法后,分数阶Fourier变换才吸引了越来越多信号处理领域学者的注意,并出现了大量的相关研究文章.国内开始分数阶Fourier变换的研究并不算晚,但是从发表的论文数量和[6]质量来看,尚处于起步阶段.尽管国内1996年便有过关于分数阶F
7、ourier变换的[7,8]综述文章,但是那时分数阶Fourier变换在信号处理领域的潜力才刚刚得到挖掘.而迄今国际上也未有从信号处理角度对分数阶Fourier变换的综述.本文的目的是总结近年来分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究成果,从基础、应用基础、应用三个层面对分数阶Fourier变换的理论体系进行阐述,供相关研究人员参考.本文组织如下:首先介绍了分数阶Fourier变换的定义及其含义:第二部分阐述了分数阶Fourier变换的基本性质及分数阶Fourier变换与传统时频分析工具的关系,认为分数阶Fourier域可
8、以理解为一种统一的时频变换域,并给出了其不确定性原理;第三部分对基于分数阶Fourier变换而定义的一些信号分析工具作了系统归纳;第四部分给出了基于分数阶Fourier变换的采样定理,并总结了分数阶Fourier变换的离散定义和算法;有关分数阶Fourier变换在信号处理领域
