傅立叶变换、时频分析与小波

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1、小波信号处理系列讲座（1）傅立叶变换、时频分析与小波傅立叶变换、时频分析与小波FourierTransform,Time-frequencyAnalysisandWavelet茅耀斌南京理工大学自动化系2005.3.31ThemostwidelyusedsignalprocessingtoolistheFFT;themostwidelymisusedsignalprocessingtoolisalsotheFFT-JamesKaiserOutline¢时变信号与瞬变信号¢傅立叶变换、短时傅立叶变换与小波变换¢小波的特点及历史¢多分辨分析¢小波分析的应用¢结束语瞬变的

2、世界¢我们应该都有这样的经历，在餐厅与朋友聊天时，开始觉得很吵，一会儿后觉得听不到周围其他人的说话声音便不觉得吵。然而倘若我们突然停止谈话，我们很快就会在意周围人们的交谈。很明显，我们的注意力被突然的环境改变所吸引。我们周围每天都有很多信息在交流，而我们只将注意力集中在周围环境的突然改变上，这很可能是我们的感知系统从一堆信号中选择重要信息的一种方法。——S.Mallat(AWaveletTourofSignalProcessing)平稳信号与瞬变信号¢所谓平稳信号（stationarysignal）是指信号的统计特性不随时间变化的信号。¢非平稳信号（non-stat

3、ionarysigal）则是信号统计特性随时间变化的信号。平稳信号与瞬变信号50,200,500Hz正弦信号合成平稳信号与瞬变信号傅立叶变换+∞+∞jωt−jωtf(t)=∫F(ω)edωF(ω)=∫f(t)edt−∞−∞¢傅立叶变换可以这样认为：一个信号f(t)用一组基函数来表示，对傅立叶变换来说，这组基函数是正弦或余弦函数，它们以复函数的形式表示。¢使用傅立叶变换，我们可以在频率域里来分析和解释信号，它以一种不同于时域表示的形式来表示信号。傅立叶变换¢我们常常碰到同时需要知道频域信息和时间域信息的情况¢人听声音的过程实际上就是一个时频分析的过程；¢对某一段随时间

4、变化的音频的识别，就是分析局部频率分布特性；¢对图象的分割也是一种对信号局部频率分布的分析。¢在整个时间域中进行傅立叶变换操作，我们不能获得随时间变化的局部频率特性。傅立叶分析假设信号在全局的分布是统计不变的，它需要时域信息的全体来获得频率信息的分布。短时傅立叶分析（STFT）+∞−jωtSTFT(s,ω)=∫x(t)g(t−s)edt−∞短时傅立叶分析标准正弦函数f(S)1脉冲函数f(S)2加窗正弦波函数f(S)3频率按线性递增的加窗正弦波函数(“chirp”信号)f(S)4小波变换¢为对特定时间区域内的信号进行分析，我们必须给定一个分析窗口，比如采用一个Gaus

5、sian窗口。但是，如果给定某个固定分析窗口后，会存在一个基本的矛盾：如果要追求频率分辨率则时域窗口应该大，频率窗口小；反之，频域窗口大，时域窗口小。对快变和慢变信号分析窗口要求是不一样的。如何解决这个问题？小波变换小波变换小波变换加窗傅立叶变换小波变换小波变换这里的基函数不再是三角函数什么是小波变换？WTa=xtt=1xt(t−τ)dt(,τ)(),ψ()()ψxa,τa∫Ra+∞+∞1dax(t)=2WT(a,τ)ψ(t)dτC∫a∫xa,τψ−∞−∞小波函数会是什么样子？都是低通滤波器函数！小波特性：小波的时间和频率特性时间A时间B运用小波基，可以提取信号中的

6、“指定时间”和“指定频率”的变化。¢时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。¢频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。小波特性：用小波基来表示一个信号傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较小波的优点¢小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象（傅里叶变换只具有频率分析的性质）¢小波变换的多分辨率特性，有利于各分辨率中不同

7、特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换举例小波变换举例小波变换举例小波变换举例小波变换举例小波变换举例小波的成就¢小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。¢小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。小波分析发展历史1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文小波分析发展历史1910年Haar提出最简单的小波小波分析发展历史1980年