几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换.doc

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1、几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换夏巨伟(浙江大学空间结构研究中心)摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难

2、问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术；1傅里叶变换（FourierTransform）2小波变换（WaveletTransform）2.1由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（GaborTransform(ShortTimeFourierTransform)/）从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f)只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h（t）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时

3、域区间（比如：t∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t∈[a,b]与函数，然后考察傅里叶变换。但是由于在t=a,b处突然截断，导致中出现了原来h（t）中不存在的不连续，这样会使得的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，D.Gabor在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。图：S

4、TFT示意图1.1STFT算例图：四个余弦分量的STFT1.1窗口傅里叶变换（Gabor）到小波变换（WaveletTransform）图：小波变换定义满足条件：的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L2（—∞，+∞）)为——基本小波或小波母函数。Haar小波函数db3小波函数db4小波函数db5小波函数mexh小波函数图：几种常用的小波函数令，a、b为实数，且a≠0，称ψab为由母函数生成的有赖于参数a,b的连续小波函数。设f(t)∈L2（—∞，+∞），定义其小波变换为：与Fourier类似，小

5、波变化也具有反演公式：，以及Parseval等式：小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率却相应降低。这是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。图：FT变换、STFT变换及WaveletAnalysis比较图：Wavelet应用1——探测数据突变点图：Wavelet应用1——探测数据突变点（树状显示）图：Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势图：Wavelet应用2——探测数据中的

6、频率成分图：Wavelet应用3——压缩数据图：Wavelet应用3——压缩数据