时频分析与连续小波变换.ppt

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1、小波分析导论第二章时频分析与连续小波变换时频联姻(TimeMeetsFrequency)傅里叶分析回顾联合时频分析的基本原理短时傅里叶分析:STFT连续小波变换:CWT时频分析的应用瞬时频率基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测本章小结一、傅里叶分析回顾概述定义性质实现傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。它是一个全局的分析。它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。傅里叶分析概述傅里叶变换(分析

2、)的定义根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：CTFT:连续时间傅里叶变换CFS:连续时间傅里叶级数DTFT：离散时间傅里叶变换DFS：离散时间傅里叶级数CTFT:连续时间傅里叶变换适用信号:连续时间信号变换公式:CFS:连续时间傅里叶级数适用信号:连续时间周期信号变换公式:DTFT：离散时间傅里叶变换适用信号:离散时间信号变换公式:DFS：离散时间傅里叶级数适用信号:离散时间周期信号变换公式:四种傅里叶变换的关系:信号时域和频域特性之间关系：本课程中傅里叶变换的记号:连续时间傅里叶变换性质从频率分析角度看：傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。从信

3、号奇异性分析角度看:傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：1965年库利和图基提出FFT算法FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS的一种快速算法.FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用.傅里叶变换的快速算法：FFT二、联合时频分析联合时频分析引入的动机：具有时变频率结构

4、的信号在自然界中随处可见：语音/音频信号颜色变化的光线雷达信号地震信号……1946年,DennisGabor(1971年Nobel奖获得者):“迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的经历－特别是我们的听觉－却一直是用时间和频率来描述的。”为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子不同时频原子具有不同的时

5、频特性。时频原子时频原子的基本概念线性时频变换的定义时频原子的时频局部化描述Heisenberg测不准原理时频原子的时频结构-Heisenberg-box时频能量密度时频原子基本概念时频原子具有时频局部化特性的基本信号分析单元短时傅里叶时频原子小波时频原子特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；小波原子是通过平移和伸缩得到的。线性时频变换：参数集线性时频变换的时频局部化如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根据(1)式,则仅与信号f(t)在该邻域的值有关。如果时频原子在频率上是集中于某个频率点周围,根据(2

6、)式,则仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。问题:上述时频原子存在否?“最高的时频分辨率”时频原子的分辨率受如下两个结论限制:Heisenberg测不准原理不存在同时具有时限和频限的时频原子设时频原子的时频结构：时频局部化的定量描述Heisenberg-box示例：有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题：根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于

7、1/2；在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域。Heisenberg测不准原理结论时频不可能同时有限长尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是不成立的。定理:时频不能同时有限长时频能量密度它度量了信号的能量在以为中心的时频邻域内的分布。连续STFT定义短时傅里叶原子的时频结构常用信号的连续STFT连续STFT的反变换连续STFT的性质能量守恒定理再生核方程

8、短时谱三、短时傅里叶变换STFT(ShortTimeFourier