谈谈与p进制及素数幂次有关的问题

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1、8中等数学谈谈与P进制及素数幂次有关的闻题刘泽宇赵舸航2(1．西安交通大学电气工程及其自动化系2014级，7100492．南京师范大学理科试验班2014级，210000)中图分类号：0156．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)05—0008—06近年来，随着数学竞赛推向深入，出现一若k-0(mod4)，还需继续作用大批与P进制表示及素数幂次有关的问题，注意到，此时这些数论问题难度普遍较大，必须掌握一定Ⅳ=(“+(“后))的知识技巧才能加以解决．为了叙述方便，先引入一些记号．=k2(+1)+k2(后+1)+÷(+1)设P为素数，记。(k)=r

2、，其中，r满足P1lk，则称k中P的幂次为r，r()表示n在J7v兰0(mod2)．P进制表示下的数字和．故f(r)1直接运用Up(后)思想解题=(Ⅳ+)(Ⅳ+)=M+盟例1设k为给定的正整数，r=k+÷．，记¨()=)=xFxq，其中，M=+Ⅳ+寻Ⅳ．()=卜”())，∈R+，已证Ⅳ三O(mod2)，于是，M∈Z+．其中，r]表示不小于实数的最小整数．讨论易知，若(k)=2，则’(r)∈z．证明：存在正整数m，使得f’(r)为一个整数．L1若k-0(mod8)，则(r)z．(2010，全国高中数学联合竞赛)通过上述试验猜测：【分析】先试着对r用法则厂作用几次：

3、若(后)=m，则恰有”(r)∈Z．下面用数学归纳法证明．f(r)=())=¨．(1)若m=O，由上述分析知命题成立．显然，若(k)：0，则r)∈z．(2)设命题对m一1成立．若k-0(mod2)，继续作用厂得考虑'／3(k)=m(m∈Z+)时的情形．(r)=(十+k+吉)(后+++·)此时r)=(

4、i}+1)(+1)=+警+丢．：Ⅳ+，由m≥1，知k2+3k∈Z，且由()=m，知其中，Ⅳ∈Z+．+由此，若2(k)=1，．~llf‘(r)∈Z．()=2(k)+,／32(2k+3)一1收稿日期：2014—10—18修回日期：2015—03—23=m+0—1=m一1．

5、本文第一作者系第四届陈省身杯全国高中数学奥林这就为利用归纳假设创造了条件．匹克夏令营学员2015年第5期9事实上，应用归纳假设立得Js=1+·+一¨(r))∈z．此即．”(r)∈z．不为整数．从而，命题对m成立．【分析】要说明若干分式的和不为整数，综合(1)、(2)，由归纳法知对一切m∈N可用反证法．命题成立．考虑等号两边同乘一个数再比较等号两由命题，知对任意给定的k，存在正整数边关于某个素数P的幂次以推得矛盾．为此，m，使得(r)为整数．考虑每一个分母中P的幂次．例2证明：对任意整数i>4，存在一个由n≥1，知

6、S至少是两个分数的和．故n次多项式取P=2进行研

7、究较方便．)=“+an—l一+⋯+al+a0，记m+i=2r(O≤i≤n，∈N，为正具有如下性质：奇数)，即(1)a0，0l，⋯，a一l均为正整数；2(m+i)=．(2)对任意正整数m，及任意k(≥2)个令=max{％，一，}．①互不相同的正整数r。，r2，⋯，，均有注意到，凡≥1，两个连续正整数中必有一m)：r。)r2)··r)．[2]①个2的倍数．(2011，全国高中数学联合竞赛)故≥1．【分析】从考虑满足条件(2)人手，要满首先证明：恰有一个i。(0≤。≤n)，使得Ogi足此不等式，涉及的变量较多，一个很自然的0想法是从数论角度考虑．从简单人手，若有一事实

8、上，由的定义，知这样的i。至少个素数P，使得有一个．厂()兰￡(modP)(、t∈N)，另一方面，假设存在i、(0≤、_『≤n，i)，则式①右边三(modP)，使得式①左边兰￡(modP)．otjOl·若t≠0，则可取适当的k，使式①左右两不妨设i<边在模P意义下同余；则m+i=2，m+=2r若t=0，要使式①左右两边不等，很自然一i=2(r，一)≥2“X2=2¨，的想法是构造．厂()，使其中，r2“．由上思路，结合条件n≥4，可取从而，连续n+1个整数中至少有一个被P=2，2¨整除．)=(

9、+1)(+2)⋯(+n)+2．贝0max{o，l，⋯，}≥+1．则对∈Z，总有())=1．这与式①矛盾．从而，(m))：1，故假设不成立，至多存在一个，使得：(r。)r2)一))=Ij}≥2．ogiot·0故必有综合这两个方面就证明了恰有一个i。m)≠r。)r2)一r)，(O≤0≤)，使得0[=．同时易知)满足条件(1)，这就构造出了其次用反证法．符合题意的)．假设Js为整数．例3设m、n∈Z．证明：记M=[m，m+1，⋯，m+n]．10中等数学则2(M)=．推论1的证明应用引理得同乘以M得MS==M1c()．②=Vp(n!)一Vp(k!)一((n—k)!)二一

10、生二二二二对。，三1(m