部分专题四第三讲空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用)

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1、高考对空间角的考查主要是异面直线所成角、线面角、二面角这三类角.它们对空间想象能力和等价转化能力要求较高，主要涉及空间向平面的转化.运算技巧及解三角形的一些方法.这类问题在命题形式上也较为灵活，复习时要注重知识与能力的全面结合.答案：D2．(2010·四川高考)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．1．异面直线所成角(1)定义(2)范围θ∈(0,90°](3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若

2、求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求．2．直线与平面所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．[0°，90°]3．二面角(1)二面角的取值范围：θ∈．(2)找二面角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．[0°，180°]用定义法求异面直线所成的角主要步骤：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的

3、中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．[例1](2010·湖南高考)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.[思路点拨](1)由C1D1∥B1A1可知∠MA1

4、B1为所求．(2)证明BM⊥面A1B1M.解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．[例2](2010·浙江高考)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．(1)求证：BF∥平面A′DE；(2)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．[思路点拨](1)取A′D中点为G，证明EG∥BF.(2)取A′E中点N，证明

5、NF⊥面A′DE可得线面角．求二面角的大小，关键在于找到二面角的平面角，找二面角的平面角最重要的方法是垂线法，其具体步骤为：(1)弄清该二面角及它的棱．(2)考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．(3)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．(4)解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．[思路点拨](1)连接BD交AC于O，证明AC⊥面SOD即得．(2)证明∠POD为所求二面角．(3)利用线面平行、面面平行的判定去分析可

6、求．[自主解答](1)连接BD交AC于O点，连接SO，则易知SO⊥面ABCD，∴SO⊥AC，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥OD，SO∩DO＝O∴AC⊥面SOD，∴AC⊥SD.(2)连接OP，∵AC⊥面SOD，∴AC⊥OP，又AC⊥OD，∴∠POD是二面角P－AC－D的平面角，本例中，第(1)问线线垂直的证明转化为证明线面垂直再得线线垂直，这是常用方法．第(2)问二面角的得出实际是利用定义得出的．对于第(3)问要充分利用线面平行与面面平行去分析判断，解题过程中要注意步骤的完整性，以防丢失步骤分．第(3)问有许多学生盲目猜测SE∶EC

7、＝1即E为SC的中点，则不加以证明导致丢分．解：如右图所示，设AC，BD交于点O，连接OP，易证BD⊥平面SAC，∴∠BPO为BP与平面SAC所成的角，∵点O，P分别是AC、SC的中点，等价转化思想[例4](2010·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的正切值．[解](1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面A

8、A1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知G为AB中点．又由面ABC⊥面AA1B1B，