专题四 第3讲 空间角(文科独具)

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1、一、选择题1．(2011·奉化模拟)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：连接AC、BD交于O，则EO∥SD，∴∠AEO为异面直线SD与AE所成角．设AB＝a，则EO＝，AO＝a，AE＝a，∴cos∠AEO＝.答案：C2．(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于

2、SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角

3、相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案：D3．(2011·东北三校联考)已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：画出三棱锥S－ABC(如图)，作SO⊥底面ABC，连接AO、SO，易知侧棱与底面所成的角即为∠SAO，由题意易得三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以AO＝，因为SA＝2，所以cos∠SAO＝.答案：D4．(2011·宁波模拟)已知正四面体A

4、－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则(　　)A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．β＞α＞γD．γ＞β＞α解析：如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知∠ABO＝β，取BC的中点E，连接AE、OE，易知∠AEO＝γ，易知0＜β＜γ＜，延长BO交CD于F，则BF⊥CD，又AO⊥CD，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AB，即α＝，∴α＞γ＞β.答案：B二、填空题5．(2011·全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D

5、1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝＝a，AE＝＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝＝＝.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.答案：6．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角

6、α－AB－β的大小是__________．解析：由已知∠POB是PO和平面β所成角中的最小角．由最小角定理，∠POB是PO和面β所成的角．即MO是PO在β内的射影，故α⊥β.即二面角α－AB－β大小为90°.答案：90°7．(2011·全国卷)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．解析：设面AEF与面ABC所成的二面角为θ，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，

7、则△AEF在面ABC上的射影是△ABC.在△AEF中，AE＝＝，AF＝＝，EF＝＝，△AEF的面积等于××＝，而△ABC的面积等于×32＝，因此有cosθ＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝，即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是.答案：三、解答题8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．(1)证明：EF∥平面SAD；(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．解：(1)证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

8、连接AG，FG綊CD，又CD綊AB，E为AB的中点，故GF綊AE，四边形AEFG为平行四边形．所以EF∥AG.又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD.所以EF∥平面SAD.(2)不妨设DC＝2，则SD＝4，DG＝2，△ADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG，DH⊥EF，DH＝.取EF中点M，连接MH，则HM綊AE，∴HM⊥EF.连接DM，则DM⊥EF.故∠DMH为二面角A－EF－D的平面角．tan∠DMH＝＝＝，cos∠DMH＝，∴二面角A－EF－D的余弦值为.9．(2011