专题四第三讲空间角

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1、战考场第3讲空间角知考情研考题析考向［浙江、湖南、天津专用］高频考点考情解读考查方式异面直线所成角常在空间几何体中考查异面直线所成角的求法各种题型直线与平面所成角常在空间几何体中考查线面角的求法选择题、解答题二面角常在空间几何体中考查二面角的求法及应用解答题[做考题　查漏补缺](2011·福州模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点，若异面直线NE与AM所成的角为α，则cosα＝________.答案：D2．(2011·南京师大附中模拟

2、)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.[悟方法　触类旁通]用定义法求异面直线所成角的主要步骤(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异

3、面直线所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.[做考题　查漏补缺](2011·揭阳一模)如图甲，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，再将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值．[解](1)证明：在图甲中，∵AB＝BD且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°.∴∠ABD＝90°，即AB⊥BD.

4、在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴AB⊥平面BDC.∴AB⊥CD.又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B.∴DC⊥平面ABC.3．(2011·湖北监利一中)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C4．(2011·全国卷)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(

5、1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．[联知识　串点成面](1)二面角的取值范围：θ∈[0，π]．(2)找二面角平面角的方法：①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．[做考题　查漏补缺](2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求二面角B－AP－C的大小．[解](1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC，又PO⊥平面A

6、BC，得PO⊥BC，因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，所以BC⊥PA.5．(2011·东城模拟)正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．解：(1)取CD中点M，连接EM，MF，则EM∥AD，MF∥BD，且AD∩BD＝D，EM∩FM＝M，∴平面ABD∥平面EMF.又AB⊂平

7、面ABD，∴AB∥平面EFM.由AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EMF＝EF得，AB∥EF.又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.[悟方法　触类旁通]求二面角的大小，关键在于找到二面角的平面角，找二面角的平面角最重要的方法是垂线法，其具体步骤为：(1)弄清该二面角及它的棱．(2)考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．(3)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连接垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．(4)解这个角所在的直

8、角三角形，可得到二面角的大小．纵观近几年各地高考对空间角的考查主要是各种角的求法．涉及空间角的动态问题(范围、最值)也是今后创新命题的一个方向，同时考查数形结合思想的运用．[解](1)取BC的中点O，连接EO，AO，EO∥DC，所以EO⊥BC.因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO，所以BC⊥平面AEO，故BC⊥AE.[点评]本题一改传统空间角的求法，由静态到动态新设问