专题四 第三讲

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1、第三讲　推理与证明(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察某些个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(3)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，要求逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．(4)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止．(5)适合用反证法证明的四

2、类数学命题：①唯一性命题；②结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题；③否定性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．1．(2013·福建)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)

3、x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1

4、－1≤x≤3}，B＝{x

5、x＝－8或0

6、0

7、取f(x)＝对于C，取f(x)＝tan[π(x－)]，满足题意．排除法，选D.2．(2013·陕西)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·解析　观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－

8、a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.3．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　　　　N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n…………………………………

9、……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝___________.答案　1000解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1100－100＝1000.4．(2012·陕西)观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．答案　1＋＋＋＋＋<解析　归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.题型一　合情推理

10、例1　(1)设数列{an}是首项为0的递增数列，n∈N*，fn(x)＝，x∈[an，an＋1]，满足：对于任意的b∈[0,1)，fn(x)＝b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为_______．(2)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是＋＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是________．审题破题　(1)先求数列{an}的前几项，归纳项的规律，作

11、出猜想；(2)双曲线和椭圆方程相比，形式类似，只要注意到椭圆的切线方程中x2，y2分别换成了x0x，y0y即可．答案　(1)an＝　(2)－＝1解析　(1)∵a1＝0，当n＝1时，f1(x)＝

12、sin(x－a1)

13、＝

14、sinx

15、，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0,1)，f1(x)＝b总有两个不同的根，∴a2＝π；f2(x)＝＝＝，x∈[π，a3]，∵对任意的b∈[0,1)，f2(x)＝b总有两个不同的根，∴a3＝3π；f3(x)＝＝＝，x∈[3π，a4]，∵对任意的b∈[0,1)，f3(x)＝b总有两个不同的根，∴a4＝6π.由此可得an＋1－