专题二 第三讲

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1、第三讲　函数的图象与性质1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和

2、g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(

3、x

4、)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内

5、有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性的结论(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2

6、a

7、.(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±恒成立，则函数y＝f(x)的周期为2

8、a

9、.5．函数的图象对于函数的图

10、象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．1．(2013·江西)函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)A．(0,

11、1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]答案　B解析　由得，函数定义域为[0,1)．2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)A．－2B．0C．1D．2答案　A解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3．(2013·四川)函数y＝的图象大致是(　　)答案　C解析　由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x

12、x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数

13、图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.4．(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于(　　)A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1答案　D解析　与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.5．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R

14、上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．答案　(－5,0)∪(5，＋∞)解析　由已知f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝不等式f(x)>x等价于或解得：x>5或－5

15、＋a)，则a的值为______．审题破题　(1)f(2x)有意义要求2x在f(x)的定义域内；(2)解题的关键是考虑f(1－a)和f(1＋a)需要代入解析式的哪一段，因而需讨论1－a和1＋a与1的大小关系，即a与0的大小关系，构造关于a的方程求解．答案　(1)D　(2)－解析　(1)因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．(2)首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a<