专题三 第三讲

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1、第三讲　平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：

2、b

3、cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算

4、律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝

5、a

6、

7、b

8、cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．1．(2013·福建)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)A.B．2C．5D．10答案　C解析　因为·＝0

9、，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝

10、

11、

12、

13、＝××2＝5.2．(2013·湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C.－D．－答案　A解析　＝(2,1)，＝(5,5)，∴在方向上的投影为＝＝＝.3．(2013·北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.答案　4解析　以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa

14、＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.4．(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为______．答案　解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝

15、

16、2＋

17、

18、

19、

20、cos60°－

21、

22、2＝1＋×

23、

24、－

25、

26、2＝1.∴

27、

28、＝0，又

29、

30、≠0，∴

31、

32、＝.5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC

33、＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．答案　解析　方法一　坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.方法二　用，表示，是关键．设＝x，则＝(x－1).·＝·(＋)＝·(＋x)＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，∴x＝.∴＝＋＝

34、＋.∴·＝(＋)·＝＝2＋2＝×2＋×4＝.题型一　向量的概念及线性运算例1　(1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于(　　)A．3B.C．－3D．－(2)已知

35、

36、＝1，

37、

38、＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________.审题破题　(1)直接根据向量共线的坐标表示求tanα，再用差角公式求tan；(2)寻找点C满足的条件．答案　(1)C　(2)3解析　(1)∵a∥b，∴cosα＝－2sinα.∴tanα＝－，∴tan＝

39、＝－3.(2)方法一　

40、

41、＝1，

42、

43、＝，·＝0，不妨假设点C在AB上，且∠AOC＝30°.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0，)，C点坐标为，＝m＋n(m，n∈R)，所以存在m＝，n＝使假设成立，此时＝3.方法二　由条件

44、

45、＝1，

46、

47、＝，·＝0，可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴的直角坐标系，则＝(1,0)，＝(0，)．由＝m＋n，得＝(m，n)．又因为∠AOC＝30°，点C在∠AOB内，可得＝tan30°＝，＝，即

48、＝3.反思归纳　向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1.变式训练1　如图所示，在