专题一 第三讲 (2)

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1、第三讲　分类与整合思想1．在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．3．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中

2、底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．1．(2013·安

3、徽)“a≤0”是“函数f(x)＝

4、(ax－1)x

5、在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　当a＝0时，f(x)＝

6、(ax－1)x

7、＝

8、x

9、在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝

10、(ax－1)x

11、＝

12、ax2－x

13、的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝

14、(ax－1)x

15、＝

16、ax2－x

17、的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)

18、＝

19、(ax－1)x

20、在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝

21、(ax－1)x

22、在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于(　　)A．－B．－C.D.答案　B解析　设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.3．(2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答

23、案　D解析　当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.当0

24、x

25、)．设关于x的不等式f(x＋a)

26、a

27、)<0，解得－1－，∴－2>－，∴2<，∴

28、5．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．答案　解析　当a>0时，＋＝＋＝＋＝＋≥；当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝.综上所述，＋的最小值是.题型一　由数学概念、运算引起的分类讨论例1　函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为(　　)A．1B．1，－C．－D．1，审题破题　由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1

29、sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1

30、数列D．以上都不对答案　D解析　∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．