专题三：空间角(理)

《专题三：空间角(理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题三：空间角向量法求空间角（教师版）一．方法提炼角这一几何量在本质上是对线线、线面、面面位置关系的定量分析，其中转化的思想非常重要，三种空间角都可以化为平面角来计算，因此，可进下转化为空间向量的夹角求解。二．空间角公式：⑴线线角:异面直线所成的角a利用它们所在的向量，转化为向量的夹角q问题，但q∈[0，p]，a∈(0,]，所以cosa=

2、cosq

3、=。⑵线面角；在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图，一种是按定义得ÐPOH=＜,＞，另一种是利用法向量知识，平面α的法向量为,先求与的夹角，注意与α所成角θ与＜,＞的关系，于是就有sin

4、θ=

5、cos＜,＞

6、⑶二面角；（1）二面角的取值范围：[0，π]（2）二面角的向量求法：①若AB,CD分别是二面角α-L-β的两个面内与棱L垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角②若,分别是二面角α-L-β的两个面α,β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小1．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA//平面BDM，（1）求证：M为PC的中点；（2）求证：面ADM⊥面PBC。解：（1）证明：连接

7、AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，由PA//平面BDM，可得PA//MG∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，∴MG为△PAC的中位线。因此M为PC的中点。（2）取AD中点O，连结PO，BO。∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，8专题三：空间角∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，∴AD⊥OB。∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系∴DM⊥平面PBC，又DM平面ADM，∴ADM⊥面PBC2．（本题满分12分）ABCC11B1A1D如图，在三棱柱中，

8、侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，所以,所以平面，三棱柱是直三棱柱.　　8专题三：空间角因为平面，所以，　　　　　　　又因为，为中点，所以.B1ABCC11A1DxyzO因为,所以平面.(Ⅱ)解：因为侧面，均为正方形，，所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.设，则.，设平面的法向量为，则有，，，取，得.又因为平面，所以平面的法向量为，………11分因为二面角是钝角，所以，二面角的余弦值为.3．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点、分别是、的中点，现将

9、△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）∵点分别是、的中点，∴.8专题三：空间角∴∠.∴又⊥，∴∴∵,∴⊥平面.∵平面,∴.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,设平面的法向量为，则……10分令，得，∴.显然，是平面的一个法向量=（）．∴cos<，>=．∴二面角的余弦值是.4、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，,点是的中点，，且交于点.（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值大小；（III）求

10、证：平面⊥平面.8专题三：空间角证明（Ⅰ）证明：连结交于，连结.是正方形，∴是的中点.是的中点，∴是的中位线.∴.又∵平面，平面，∴平面.（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由故设，则.底面，∴是平面的法向量，．设平面的法向量为,,则即∴令,则.∴,∴二面角的余弦值为．（III），，又且..又平面∴平面⊥平面.5.（本小题满分12分）三棱锥中，，,（1）求证：面面（2）求二面角的余弦值．第5题图8专题三：空间角（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，由已知△BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，则△POA≌△

11、POB≌△POC∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O所以PO⊥面BCD，面ABC，∴面PBC⊥面ABC（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，如图建立坐标系O—xyz则，，，，第5题答案图设面PAB的法向量为n1=(x,y,z)，由n1·=0，n1·=0,可知n1=(1,-,1)同理可求得面PAC的法向量为n1=(3,,1)cos(n1,n2)==6．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的大小．解：（Ⅰ）为的中点，且，，底面，底面

12、，．………2分四边形为正方形，．又，平面．平面，．，平面．……6分8专题三：空间