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《专题四 第3讲 空间向量与立体几何(理科独具)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1．(2011·东阳模拟)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝2，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝.如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0
2、)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，∴＝(0，－3,3)，＝(－，1,1)．由·＝(0，－3,3)·(－，1,1)＝0，得⊥，∴EM⊥BF.(2)由(1)知＝(－，－3,3)，＝(－，1,1)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，得令y＝1，得z＝2，x＝，∴n＝(，1,2)，由已知EA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为＝(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝
3、cos〈n，〉
4、＝＝，故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
5、为.2．(2011·广州模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM
6、⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0，1,1)．∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥可得令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝＝.∴cosα＝.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.3．(2011·海淀模拟)在如图的多面体中，EF⊥平面AE
7、B，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：BD⊥EG；(3)求二面角C－DF－E的余弦值．解：(1)证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綊BG，∴四边形ADGB是平行四边形．∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG.(2)证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA
8、两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0，2,2)，G(2,2,0)．∴＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)．∴·＝－2×2＋2×2＝0.∴BD⊥.(3)由已知得＝(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量．设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(0，－1,2)，＝(2,1,0)，∴即令z＝1，得n＝(－1,2,1)．设二面角C－DF－E的大小为θ，则cosθ＝cos〈n，
9、〉＝－＝－，∴二面角C－DF－E的余弦值为－.4．(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空
10、间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)．则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A－PB－C的余弦值为－.5．(20
