【导学教程】2013高考数学专题复习 专题四第3讲 空间向量与立体几何课件 .ppt

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1、第3讲　空间向量与立体几何真题感悟自主学习导引答案A2．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′MNC为直二面角，求λ的值．解析(1)证明　证法一连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A

2、′ACC′.证法二取A′B′的中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点，空间向量的工具性主要体现在平行与垂直的判定，求空间的

3、角的大小．解题时要特别注意避免计算失误．考题分析网络构建高频考点突破考点一：利用向量证明平行与垂直【例1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.[审题导引]建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明∥即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．【规律总结】用空间向量证明位置关系的方法(1)线线平行：欲证直线与直线平行，

4、只要证明它们的方向向量平行即可；(2)线面平行：用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)面面平行：平面与平面的平行，除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可；(4)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直；(5)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，

5、证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(6)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两平面的法向量垂直即可．【变式训练】1．如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点．(1)求证：BD⊥FG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．解析(1)证明以A为原点，AB、BD、PA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

6、标系A－xyz，如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，考点二：利用向量求线线角、线面角【例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．[审题导引]建立坐标系，求出平面ACM的法向量，利用向量法求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．[规范解答](1)证明∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴

7、PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.【规律总结】向量法求线线角、线面角的注意事项(1)建立适当的直角坐标系，根据对称性原则，使尽可能多的点在坐标轴，易于求各点的坐标；(2)求直线与平面所成的角θ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得，即sinθ＝

8、cosα

9、.【变式训练】考点三：利用向量

10、求二面角【例3】(2012·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，D为棱BB1上一点，且面DA1C⊥面AA1C1C.[审题导引](1)取AC的中点F，A1C的中点E，利用BD綊EF证明；(2)以D为原点建系，设出相关点的坐标，利用公式求解．[规范解答](1)证明过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF、EF.(2)建立如