专题四 第3讲空间向量与立体几何(1)

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1、第3讲　空间向量与立体几何自主学习导引真题感悟1．(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为A.　　　B.C.　　　D.解析　利用向量法求解．不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，∴cos〈，〉＝＝＝＝＞0.∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB

2、1夹角的余弦值为.答案　A2．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′MNC为直二面角，求λ的值．解析　(1)证明　证法一　连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′A

3、CC′.证法二　取A′B′的中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0

4、,1)，C′(0，λ，1)，所以M，N.设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，由得可取m＝(1，－1，λ)．设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由得可取n＝(－3，－1，λ)．因为A′MNC为直二面角，所以m·n＝0.即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝(负值舍去)．考题分析应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点，空间向量的工具性主要体现在平行与垂直的判定，求空间的角的大小．解题时要特别注意避免计算失误．网络构建高频考点突破考点一：利用向量证明平行与垂直【例1】

5、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.[审题导引]　建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明∥即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．[规范解答]　以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,

6、0)，P(0,0,1)，所以E为，F为＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．(1)因为＝－，所以∥，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.

7、【规律总结】用空间向量证明位置关系的方法(1)线线平行：欲证直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平行即可；(2)线面平行：用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)面面平行：平面与平面的平行，除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可；(4)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直；(5)线面垂直：用线面垂直

8、的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(6)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两平面的法向量垂直即可．【变式训练】1．如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点．(1)求证：BD⊥FG；(2)确定点