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《概率论与数理统计课件第2章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数2.4连续型随机变量及其密度函数2.3几种常见的离散型分布2.2离散型随机变量及其分布律2.6随机变量函数及其分布2.5正态分布2.1随机变量及其分布函数一、随机变量二、随机变量的分布函数一、随机变量例袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1,2,3．因此,X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我
2、们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间Ω上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如表示至少取出2个黑球这一事件，等等．表示取出2个黑球这一事件；例一大批产品中次品率为p，从中任取n件，求其中最多有k件次品的概率。求P(B)Bernoulli试验中，A表示成功，可设此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是用w表示所有的元素。随机变量的定义定义：设随机试验E的样本空间是Ω={w}，如果对于每一
3、个w∈Ω，有一个实数X(w)与之对应，且对任何一个实数是随机事件，这样就得到一个定义在Ω上的单值实值函数X=X(w)，称X=X(w)为随机变量,简记为X。说明例1盒中有5个乒乓球,其中2个白球，3个黄球,从中任取3个,记X=“取到白球的个数”,则X是一个随机变量,且X的可能取值是0,1,2,且有例2上午8:00～9:00在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．随机变量概念的产生是概率论发展史上
4、的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它称为X的分布函数．0xxX设X是一个随机变量,是任意实数,函数几何定义：二、随机变量的分布函数X的分布函数为出现的点数小于x的概率1,2,3,4,5,6例3掷一枚骰子,设X表示出现的点数,其可能取值为没有可能的点数包含出现1点包含出现1,2点包含出现1,2,3点包含出现1,2,3,4点包含出现1,2,3,4,5点包含出现1,2,3,4,5,6点分布函数
5、是累计概率分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即(2)如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.例4判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)解(1)由题设,在上单调不减,右连续,并有所以是某一随机变量的分布函数.例4判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在上单调下降,不可能是分布函数.所以解用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式例5解(1)因为分布函数右连续,且2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的
6、分布律二、离散型随机变量的分布函数定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量X其可能的取值为称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律表格形式分布列的性质：概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6012X例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白
7、球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数X的可能取值为1,2,3,4,5不难求得因此,所求的概率分布为123450.20.20.20.20.2则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，二、离散型随机变量的分布函数如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量的分布函则一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由分布亦由唯一确定.梯函数，跳跃度恰为随机变量点处的概率在数，数为阶梯函当时，例2设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，
8、求X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p可爱的家园解以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为：pkp或写成P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,
