§6.1.1不等式的性质(一)

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1、§6.1.1不等式的性质(一)教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号生活中为什么“糖水加糖甜更甜”呢?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证即可.怎么证呢?一.引人课题转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?二.讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）

2、不等号的种类：（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．＞.＜.≥(≮).≤(≯).≠．2.初中所学不等式的性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；3.数轴的三要素原点、长度单位、正方向③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变.②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；4.如何比较数轴上两点所对数的大小数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数5.如图，A、B是数轴上两点，A、B所对数分别为a、b试比较ab与

3、0的大小BAba6.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．a-b>0a>ba-b=0a=ba-b<0abab>0a

4、2a8)=7<0∴(a+3)(a5)<(a+2)(a4)本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项三.讲解范例：例2.已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小解：由题意可知：∵(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0∴x2＞0∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＞0∴(x2＋1)2＞x4＋x2＋1分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意.本题知识点：乘法公式，去

5、括号法则，合并同类项例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：当x＝0时，(x2＋1)2＝x4＋x2＋1当x≠0时，(x2＋1)2＞x4＋x2＋1此题意在培养分类讨论的数学思想，在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判

6、断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式,第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论,第三步：得出结论又∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0例3.已知a>b>0，m>0，试比较与的大小从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例4.比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b

7、-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2(当且仅当a＝b时取等号)∴a4-b4≤4a3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.例5.设a>0且a1,比较loga(a2+1)与loga(a3+1)的大小解：(a3+1)(a2+1)=a2(a1)(1)当0loga(a2+1)(2)当a>1时，a3+1>a2+1，∴loga(a3+1)>loga(a2+1)∴总

8、有loga(a3+1)>loga(a2+1)练习:用不等号填空a2+b2_____2ab(x+5)(x+7)______(x+6)2(x2+1)2_____x4+2x2+2x2+x+1____