§不等式及其基本性质

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1、§2.2　不等式及其基本性质预备知识·数与式的基本运算·数轴重点·比较两个实数的大小·不等式的解集难点·不等式的基本性质·比较式的大小学习要求·了解不等式的概念，·熟练应用不等式的基本性质解题64　　1.不等式及其基本性质　　我们先用天平来做两个实验．　　实验1：　　在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的(天平实验图)重量是相等的；当天平处在不平衡状态，则两端的重量不等．在实验中你可以观察到：　　(1)天平平衡是可能的；图2-11(2)图2-11(1)　　(2)天平不平衡状态是经常发生的，

2、所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．　　在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“¹”或“<(£)”、“>(³)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(£)”、“>(³)”表示的不等量关系．用符号“<(£)”、“>(³)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x>1，读作x大于1；图2-11(2)表示x<2，读作x小于2．课内练习11.请你用“>

3、(³)”、“<(£)”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“>(³)”、“<(£)”连接任意两-5–4–3–2–1012345678decfab······第2题图个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．　　(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如　　Þ7+3>5+3(即10>8)；7>5　　　　　　Þ7+(3´3-3)>5+(3´3-3)(即13>11)；　　　　　　Þ7-9>5-9(即-2

4、>-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如　　7>5Þ7´2>5´2(即14>10)；647>5Þ7¸2>5¸2(即3.5>2.5)；　　　　7>5Þ7´x>5´x,x>0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：　　7>5Þ7´(-2)<5´(-2)(即-14<-10)；　　5>-7Þ5´(-5)<(-7)´(-5)(即-25<35)；-3<-2Þ(-3)¸(-4)>(-2)¸(-4)(即>)．这是不等式的基本性

5、质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向．课内练习21.因为3<5，所以(1)3+25+2，根据；(2)3+(-2)5+(-2)，根据．2.因为4>2，所以(1)4´32´3，根据；(2)4´(-3)2´(-3)，根据．3.用不等式表示下面的文字意思：(1)x与3的差大于0；(2)y与5的和小于1；(3)y的3倍不小于6．4.利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x+3>0的两边同减去3后，不等式成为　　　　　　　；(2)不等式y+6<2y-4的两边同加上4后，不等式成为　　　　　　　　　；(3)不等式x+7<-9的两边同乘以2后，不等式成为　　

6、　　　　　；(4)不等式9x+18<18x+6的两边同除以9后，不等式成为　　　　　　　；(5)不等式-x+7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为　　　　　　　；(6)不等式9x+18<-18x+6的两边同除以-9后，不等式成为　　　　　　．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a,b，有　　　abÛa-b>0；a=bÛa-b=0．(这里的记号“Û”64表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1　比较和的大小．解　因为　-=<0，所以　　<▍　　例2比较x2+x和3

7、x-2的大小，其中x为任意实数．解　因为　(x2+x)-(3x-2)=x2+x-3x+2=(x2-2x+1)+1=(x-1)2+1>0，所以　　(x2+x)>(3x-2)▍　　应用求差法还可以证明：若a>b,b>c,则a>c．这个性质称为不等式的传递性课内练习31.比较下列各组中两个实数的大小：(1)和；(2)-3和-4；(3)12.3和．2.比较下列各组中两个式的大小(式中的x是任意实数)：(1)(x+1)2和2x+1；(2)(x+5)(x+7)和(x+6)2．2.数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型

8、不等式的解