《最短路径问题》课件4

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1、13.4课题学习最短路径问题课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题．学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径

2、问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知

3、B··Al(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB

4、与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题3你能用所学的知识证明AC

5、+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B

6、′CC′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′运用新知练习　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使P

7、R与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)BA思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1