最短路径问题课件

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1、罗田县白庙河中学汪迎春九年制义务教育人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时）(1)△ABC中，AD垂直平分BC，若AC=5cm,则AB=.线段垂直平分线的性质是什么？问题导入5cm线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。（2）请画出下图中，点A关于直线l的对称点A′，P是l上一点，PAPA′（填＞或＝或＜）.问题导入A′=（3）下面三条线段是否可以构成三角形：17cm,8cm,6cm.为什么？问题导入不能三角形任意两边之和大于第三边。两点之间,线段最短①②③（4）如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的

2、理由是什么？问题导入问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并

3、把它抽象为数学问题吗？设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关

4、于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′连接AC′，BC′，B′C′．探索新知问题3你

5、能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′运用新知1.如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地

6、，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（）A.B.C.D.Dxy11OABC运用新知2.在平面直角坐标系中，已知两点A（1，4）B（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不共线，请你确定点C的位置使AC+BC最小．运用新知3.如图，在直角三角形ABC中，，，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为＿＿＿＿＿P2归纳小结（1）通过最短路径问题的学习，学到了什么技能和方法？（2）通过本节课的学习，有什么样的感悟？已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边

7、OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小能力升华分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求