13.4最短路径问题 课件

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1、我们把研究关于“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.新课引入第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“

2、将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.lABCB（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABClABCB′如图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？在连接AB′两点的线中，线段

3、AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′

4、决实际问题ABl问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？aBAbMN由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA'如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当

5、点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN

6、.证明：aBAbMNA'N′M′总结归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。问题2归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、

7、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.ACBD河10004、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。M’P归纳总结本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称解决最短路径问题②感悟和体会转化的思想补偿提高如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥思路分析：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段P

8、Q为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河