《2.2.4圆锥曲线的统一定义》课件1

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1、平行线抛物线圆双曲线椭圆2.2.4圆锥曲线的统一定义仔细观察，你会发现有许多事物都是由曲线构成，它们不仅给我们的生活带来方便，还能提供视觉美感.许多精美的图片和建筑设计都大量应用曲线导入新课在数学当中，我们也有专门定义的一类曲线——圆锥曲线，它在我们的生活中也有广泛的应用.常见的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线，抛物线等等.早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.例如用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆等.阿波罗尼(约前262～约前190)知

2、识回顾我们已经学习过三种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线和双曲线.椭圆抛物线双曲线教学内容椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.即：{P

3、

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=2a，(2a>

8、F1F2

9、)}.椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：焦点在Y轴时，标准方程为：焦点在X轴时，标准方程为：x2a2y2b2+=1(a>b>0)x2b2+=1(a>b>0)y2a2抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线.右开口抛物线:y2=2px左开口抛物线:y2=-2px上开口抛物线:

10、x2=2py下开口抛物线:x2=-2py标准方程：p为焦准距(p>0)双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即{P

11、

12、

13、PF1

14、-

15、PF2

16、

17、=2a，(2a<

18、F1F2

19、)}.-=1(a>0，b>0)x2a2y2b2而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的圆锥曲线定理：除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.其中，点F叫做圆锥曲线的焦点，直线l叫做圆锥曲线的准线.证明：假定曲线c是

20、平面截一圆锥面所得的截线，如图，作一圆锥面的内切球，并且与平面σ相切于点F.设切点圆所在平面为δ，并且σ与平面δ相交于直线l.SADMHlFδσβαc在曲线c上任取一点M，过M引锥线的母线，并与平面σ相交于点A，再由点M做l的垂线MH，H为垂足.作MD垂直于平面δ于点D，在RT△MDH和RT△MDA中，设∠HND=β，和∠HND=α，则MD=MAcosα，MD=MHcosβ，即MAMH=cosαcosβSADMHlFδσβαc又因为MF和MA是同一球的两条切线段，所以MA=MF.因此MFMH=cosαcosβ因为α，β分别是平面δ

21、于圆锥面的轴线及平面σ所成的角，它们都是定值，与点M的选取无关，所以比值与点M在曲线c上的选取无关，定理得证.MFMHcosαcosβ令e=，e叫做圆锥曲线的离心率.当β>α时，cosβcosα，e>1，截出的圆锥曲线为双曲线.通过我们上节对椭圆和双曲线性质的讨论可知：例题解析例求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S.平面截S所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球和

22、分别与平面相切于点.球的切点圆所在的平面记为平面，平面和平面相交于直线l，则l为椭圆的准线.分别作球的半径，则即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.XYOA′BAB′F2MM′变式：设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系.分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可.解：设AB的中点为M，A′，M′，B′分别为A，M，B在直线l上的射影.由第二定义得

23、AF2

24、

25、AA′

26、=e(e为离心率)即圆心到准线的距离大于半径，∴准线与圆相离.则

27、AB

28、=

29、AF2

30、+

31、BF2

32、=e(

33、

34、AA′

35、+

36、BB′

37、)=e•2

38、MM′

39、，

40、BF2

41、

42、BB′

43、=e，

44、AB

45、2=e

46、MM′

47、，又∵0

48、MM′

49、

50、AB

51、21.圆锥曲线的统一定义：除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.课堂小结1.(09全国卷)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若

52、FA

53、=2

54、FB

55、，则k=()A.31B.D.C.3232322答案：D高考链接解析：设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2，直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点

56、P(-2，0).如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由

57、FA

58、=2

59、FB

60、，则

61、AM

62、=2

63、BN

64、，点B为AP的中点.连结OB，则

65、OB

66、=

67、AF

68、，∴

69、OB

70、=

71、BF

72、，点B的横坐标为1，211–(-2)22-0322故B点的坐标为(1