圆锥曲线统一定义的教案

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1、圆锥曲线统一定义的教案江苏省镇江第一中学数学组：刘海军【学习要求】1．通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义．2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决实际问题的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点．【学法指导】通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义解决一些与焦点准线有关的问题.圆锥曲线可以统一定义为：平面内到和到(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．①当时，该圆锥曲线为椭圆；②当时，该圆锥曲线为抛物线；③当时，该圆锥曲线为双曲线.探究点一　圆锥曲线的统一定义

2、问题1：抛物线上的点满足什么条件？答案：抛物线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线(定点不在定直线上)的距离相等，即这两个距离之比为1.问题2：F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比e是小于1的常数．那么M点的轨迹是什么？若e>1呢？答案：用《几何画板》软件画出动点M的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆．在01，则轨迹为双曲线．例1：若点M(x，y)与定点F(c,0)的距离和它到定

3、直线l：x＝的距离的比是常数(a>c>0)，求点M的轨迹方程．解　根据题意可得＝，化简得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．令a2－c2＝b2，上式就可以化为＋＝1(a>b>0)．所以点M的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．问题3：若将例1中的条件“a>c>0”改为“c>a>0”，其他条件不变，M的轨迹方程又是什么？答案：－＝1(其中b2＝c2－a2)问题4：三种圆锥曲线有什么共同特征？答案　它们可以统一定义为：平面内到一定点F和到一条定直线(F不在l上)的距离之比为常数e的点的轨迹．01时，

4、表示双曲线；e＝1时，表示抛物线；e是离心率，F是焦点，l是准线．跟踪训练1：(1)双曲线2mx2－my2＝2的一条准线为y＝1，则m的值为________．(2)点M与F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是__________．解析　(1)2mx2－my2＝2化为－＝1，所以a2＝－，b2＝－，c＝＝＝.因为＝1，且m<0，所以m＝－.(2)符合抛物线定义．探究点二　圆锥曲线统一定义的应用问题1：通过圆锥曲线的统一定义可以得到曲线上的点到焦点与准线的什么关系？答案：设曲线上的点为M，焦点为F，

5、M到准线的距离设为d，则＝e，∴MF＝de.问题2：圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？答案：转化思想，曲线上的点到准线的距离和到焦点的距离可以相互转化．例2：已知A、B是椭圆＋＝1上的点，F2是椭圆的右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中点N到椭圆左准线的距离为，求此椭圆方程．解　设F1为左焦点，连结AF1，BF1，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－a＝a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1、d2、d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝

6、a2，∴c2＝a2，∴离心率e＝，由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝a＝e(d1＋d2)＝，∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋＝1.小结：在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪训练2：已知椭圆＋＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．解　由＋＝1，得a＝2b，c＝b，e＝.由椭圆定义PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.又＝e，d1为P到左准线的距离，∴d1＝＝2b，即P到左准线

7、的距离为2b.【课堂练习】1．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为________．解析　两准线间距离为2·，焦距是2c，则＝，＝，2＝3，e＝＝.2．准线方程为x＋y＝1，相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是__________．解析　利用统一定义求得．设动点为(x，y)，∵等轴双曲线e＝，∴＝，整理得，xy＝.3．点M(x，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹方程为____________．解析　由圆锥曲线的统一定义知c＝3，a＝5，b＝4，∴方程为＋＝1.4．试在

8、抛物线y2＝4x上求一点A，使A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小．解　由已知易得点B在抛物线内，＝1，准线方程x＝－1，如图，过B作C′B⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则A′B＋A′C′为满足题设的最小值．因为C′B∥x轴，B坐标为