常州市2015-2016学年第一学期高三数学期中文科试卷

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1、2016届第一学期期中考试2015．11高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集，，则▲．a≤b？开始输入a,b结束是否输出输出第4题图2．复数是虚数单位的实部为▲．3．函数的定义域为▲．4．对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则=▲．5．若，点的坐标为，则点的坐标为▲．6．已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.以上命题中，正确命题的序号是▲．第8题图7．等比数列的前3

2、项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为▲．8．如右图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是▲．9．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为，，，且，，成等差数列．若其对角线长为，则的最大值为▲．10．设函数的图象过点和点，当时，，则实数的取值范围是▲．11．已知平面上三个向量，，，满足，，，高三文科数学　第9页　（共9页），则的最大值为▲．12．已知函数，且函数与的图像关于点对称，若恒成立，则的取值范围为▲．13．若数列满足，则

3、称数列为凹数列．已知等差数列的公差为，，且数列是凹数列，则的取值范围为▲．14．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知向量，设函数，且的最小正周期为．⑴求的单调递增区间；⑵先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上上的取值范围．16．（本题满分14分）在如图

4、所示的几何体中，四边形是正方形，面，EF∥AD，且，，.⑴若与交于点，求证:EO∥平面；⑵求证：平面.高三文科数学　第9页　（共9页）17．（本题满分14分）已知函数，（a为实数）．⑴求在区间上的最小值；⑵若对任意，都有成立，求实数a的取值范围．18．（本题满分16分）如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段BD组成，其中D点在线段OB上(不包括端点)，且

5、CD∥AO.设.⑴用表示CD的长度，并写出的取值范围；⑵当为何值时，观光道路最长？θ高三文科数学　第9页　（共9页）19．（本题满分16分）已知函数，且定义域为.⑴求关于x的方程在上的解；⑵若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；⑶若关于x的方程在上有两个不同的解，求k的取值范围.20．（本题满分16分）已知非零数列满足，.⑴求证：数列是等比数列；⑵若关于的不等式有解，求整数的最小值；⑶在数列中，是否存在首项、第项、第项，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的、；若不存在，请说明理由.

6、高三文科数学参考答案及评分意见一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）高三文科数学　第9页　（共9页）1．2．3．4．25．6．①③7．－2或18．9．210．11．12．13．14．二、解答题：（本大题共6道题，计90分）15．（本小题满分14分）解：⑴，………………………2分又，，………………………4分故的单调递增区间是，………………………7分⑵……9分，………………………11分，，的取值范围为.…………14分16．（本题满分14分）证明：⑴如图，取中点，连，，在中，因为分别是的

7、中点，，且，……………………2分又由已知得，，且，，四边形是平行四边形，，………………………5分又，，………7分高三文科数学　第9页　（共9页）⑵设，在四边形中，，，，，，即，……………10分又面，面，，又，面，………………………12分，，平面.………………………14分17．（本题满分14分）解：⑴，………1分①当时，在区间上为增函数，所以………3分②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以………5分；…………6分⑵由，可得：，，设，则，………………………8分，当时，，单调递减；当时，，单

8、调递增，，………………………10分，，，，………………………12分，故实数a的取值范围为.………………………14分18．（本题满分16分）高三文科数学　第9页　（共9页）解：⑴解：(1)在△OCD中，由正弦定理，得………2分又CD∥AO，CO＝1，∠AOC，所以，.………………………4分因为OD＜OB，所以，所以.所以，θ的取值范围为.………………………7分⑵设道路长度为，则，，………………………9分，………11分由，得.又，所以.当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减，…………