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1、第六章欧几里德空间内积的定义与性质向量的模、单位向量向量的夹角正交组、标准正交组正交基、标准正交基(底)施密特正交化方法正交矩阵、正交变换§6.1欧几里德空间§6.1.1向量的标准内积定义1：设V是实线性空间(数域为R)，若对于V内任意一对向量,按照某一法则在R中有一个唯一确定的实数,与之对应，且满足条件：；；()；()，当且仅当时则实数称为向量(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)；的标准内积，简称为内积.定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间.注：有的书上对内积用(,)表示一、内积的定义及性质注意：定义1是个抽象定义，不同的实线性空
2、间中的内积可以有完全不同的内容与形式.同一个实线性空间中也可以定义不同的内积，而构成不同的欧氏空间.例1：在Rn中，对于任意向量定义(1)显然设，当且仅当时(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)；(Ⅰ)则例2：在Rn中，对于任意向量定义(2)容易验证它也适合内积定义中的条件(I)-(IV)，这样Rn中按(2)也得到一个内积，这时Rn关于这个内积也构成一个欧氏空间.注意：由于内积的定义不同，这是两个不同的欧氏空间.以后凡说到欧氏空间Rn均指例1所述的欧氏空间.显然，它适合内积定义中的条件(I)-(IV)，这样Rn中按(1)得到一个内积，于是Rn关于这个内积成为一个欧几里得空
3、间.例3：在连续函数空间C[a,b]中，对任意的定义由定积分的性质可知：设(1)(2)(3)也成为一个欧氏空间.因此，该定积分满足内积定义的4个条件，因而它也成为C[a,b]中的一个内积.于是，关于这个内积C[a,b](4)当f(x)不是恒等于0时欧几里得空间的一些基本性质：定义1的条件(I)表明内积是对称的，故有，有，特别性质2是V中某一向量，若对于，有，则性质1.性质3及恒有又故定义2：称为欧氏空间V中向量的模（或长度），记为
4、
5、，即.向量的长度具有下述性质：1.非负性注：模为1的向量称为单位向量，若0,则就是一个单位向量，这样的到的向量一
6、般称为把单位化（或标准化）.二、向量的长度及性质2.齐次性3.三角不等式【后面证明】柯西——布涅柯夫斯基不等式定理：对于欧氏空间中任意二向量,，恒有其中等号成立的充要条件是与线性相关.证明：若,线性相关，则有=0,或者=k,(kR)在上述情况下，容易证明题设的等号成立.若,线性无关，则对于任意kR,都有(这是一个关于k的一元二次多项式.)因此上述不等式成立的条件是即总之恒有则因为或下面证等号成立的充要条件是,线性相关。充分性：若,线性相关，则上面已证等号成立。必要性：若上式等号成立，（用反证法），假设,无关，则由
7、上面分析立得：矛盾。故必有,线性相关。应用实例如在前面例1所定义的线性空间Rn中，由该定理的不等式得到：对于任意实数，，有不等式或者又如前面三角不等式性质的证明：证明在欧氏空间中，对于任意向量,有证：由前面定理知，于是开方得两个非零向量的夹角定义3：非零向量,的夹角(,)规定为，记为若两个非零向量的夹角为/2，则称这两个向量正交或相互垂直，记显然，两个正交向量的内积为零，即若则特别的,规定零向量与任何向量都正交.向量,正交注：1）只有零向量才与自己正交.2）当向量正交时，存在类似勾股定理结论欧氏空间中向量的距离在一个欧氏空间中，
8、两个向量,的距离定义为，有时用符号表示.例4在欧氏空间Rn中，向量组，，…，中每个向量正交，则与该向量组的任意线性两两正交.例5在欧氏空间里，若向量与向量组解:组合也正交.§6.1.2标准正交基底定义欧氏空间V中一组两两正交的非零向量，称为V的一个正交(向量)组.若这个正交组中的每个向量都是单位向量，则此正交组称为标准正交组.定理1欧氏空间中的正交组是线性无关组.由定理1知，n维线性空间中，正交组所含向量个数不会超过n.么它是V的一个基底，称为正交基(底).如果是n维欧氏空间的一个正交组，那一个标准正交组，则称为标准正交基(底)，或者规范正交基
9、.如果正交基底是例1验证向量组容易验证：，且这又是一个单位向量构成的向量组，故又是一个构成R3的一个标准正交组.标准正交组.它们构成R3的一个标准正交基底.标准正交基e1,e2,…,en满足关系式：定理2设是欧氏空间V的一组线性无关，其中是向量的线性组合.向量，则存在V的一个正交组满足要求的正交组为该求解方法称为施米特(Schimidt)正交化方法.定理3任何n(n≥1)维欧氏空间，一定有正交基底，从而也一定有标准正交基底.例2由R3的一个基底解：先由施密特(Schimidt)正交化方法求出等价的正交组，得求R3的一个标准正交基底.再单位化，得则就是R
10、3的一个标准正交基底.例3解:应满足方程，即把基础解系正交化，即为所求．。定理4设是n维欧氏空
