欧氏空间的教学实例

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1、欧氏空间的教学实例：数学这门学科起源于现实，无论是基础教育阶段还是高等教育层次，数学教育也必须基于学生的“数学现实”，而且每个学习者都有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。　　关键词：数学教育；欧氏空间；内积；合情推理　　：G712：A：1002-7661（2011）09-023-02　　　　法国当代遗传学家阿尔贝.雅卜尔在谈到数学学习和教学时说到：“我学习数学，因为这是一个谈话的话题，最美妙的话题之一。是因为这会让我们感到快乐，是－个很好的交谈话题。学生能够享受到理解某些概念的乐趣…，借助数学我

2、们接触到种种神奇的概念。”　　基于欧氏空间定义的合情推理教学实例：　　我们知道，把实数域上的线性空间定义内积（在解析几何上称为数量积）后，此线性空间就成为欧氏空间，即：　　定义：当对在上的线性空间规定向量的内积并满足条件　　1、；　　2、；　　3、；　　4、当时，　　这里的是线性空间的任意向量，是任意实数，称为向量与的内积，这样，在上的线性空间形成了欧氏空间。　　以上定义实际上也是欧氏空间的形式化表达。　　显然在线性空间中对于任意两个向量　　。定义内积　　　　满足内积的条件。　　推理一：欧氏空间是线性空间，则此空间必有线性空间内的所有性质，其中包括基、维数、

3、坐标、同构、子空间和线性映射、线距映射、特征值、特征向量及矩阵的对角化等的内容。　　推理二：欧氏空间由于赋予了向量的内积（数量积），就应满足解析几何中概念及相关性质及计算法则，包括向量的长度、两向量的夹角、垂直及有关不等式。既然如此，则也应有这些相关概念的数量化或形式化产物。　　推理三：作为线性空间下赋于了内积形成的欧氏空间，当然有比线性空间更进一步的理论创新。　　欧氏空间基本概念形式化后的合情推理，对理解和解题、特别是一些具体的概念或命题的理解和证明尤其显得重要，由于合情推理是基于学习者的数学现实，有准确的前期课程基础知识作现实准备，就必然有思路进入命题的

4、实证。下面是教学中一些合情推理的实例：　　例1、证明：实对称矩阵的特征值都是实数。　　索引一：　　特征值、特征向量定义：设是数域上线性空间的一个线性变换，如果在中存在向量，使　　　　则称为的一个特征值，而称为属于特征值的一个特征向量。同时，对数域上线性空间的一个线性变换，给定一个基，便对应一个矩阵，则有等价表达式　　　　知识形象解释　　1、从几何意义上说，对于向量，它是一种线性映射，即直线上的变换。　　2、如果，是的属于特征值的特征向量，则对数域中任意数，一切向量，都属于特征值，的特征向量。从而有关于特征向量集合的形式化表达即：　　索引二：等价命题“实对称矩

5、阵的特征值”“对称变换的特征值（线距映射）”。　　索引三：实数的共轭不变，为实数；实矩阵。　　索引四：对称矩阵及矩阵转置的形式化表达式：。　　基于以上的数学现实储备，证明本命题便有了下手的路子。　　证：设下的特征值为，它的特征向量满足：　　顺理成章有，即是实数。　　例2、设是维欧氏空间的一个对称变换，那么属于的不同特征值的特征向量彼此正交。　　证题的索引：　　对称变换的形式化表述：设线性变换是维欧氏空间的对称变换的一个充要条件是有。　　向量正交的形式化表述：或　　证：设是的特征值，且，令与分别是属于与的特征向量：　　，　　从而有　　　　由于，自然有　　　　有

6、些推理看似合理的，实际上由于缺乏严密，合情推理也可能出现错误。如：　　猜想1、在对称变换下，属于同一特征值的特征向量也正交。　　猜想2、设是维线性空间，如果是中线性变换的全部不同特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量彼此正交。　　可以验证以上猜想是不能成立的。　　猜想3、是否对于维欧氏空间的任意变换，都有：是的对称变换的一个充要条件是有。　　结论是成立的，可以先证明是线性变换。　　即为线性变换，故为对称变换。　　扩展训练：　　例3，若是对称变换，证明：是对称变换。　　教学中要引导学习者审题：数学现实是对称变换的定义及性质，相应的推理按对称矩阵和

7、内积变换两个方向进行。　　证法一：按对称矩阵与对称变换等价性有　　令，且有得　　即为对称矩阵，所以为对称变换。　　语法二：按对称变换的内积性质　　对于有　　所以为对称变换。　　同样的方法还可以证明：是对称变换的（略）　　以上的实例能让我们更深刻地理解弗赖登塔尔强调的，数学是思辨的，学生学习数学是一个“再创造”的过程，学生不是被动地接受知识，而是在创造，把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍。