公理化定义的欧氏空间的教学探析-论文.pdf

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1、2014年第1期第23卷No1．2014vo1．23公理化定义的欧氏空间的教学探析方又超(德宏师范高等专科学校数学系，云南芒市，678400)【摘要】在高等代数里，欧氏空间的概念具有较强的抽象性，是继向量空间之后的又一个重要的兼有几何意义的公理化代数概念，是一个基本的数学工具，初学者不易弄懂。本文采用分部教学，首先着重探讨公理化的内积，进而引出欧氏空间的定义，把欧氏空间同向量空间作比较。并由内积的固有性质对欧氏空间中的长度、夹角及距离的度量方式作了说明，最后的例子建立了内积和二次型的矩阵表示间的联系。【关键词】公理化；欧氏空问；

2、教学在高等代数里。欧氏空间的概念具有较强的实数。的抽象性。是继向量空间之后的又一个重要的这个例子的特别之处是在，中，不仅有向量兼有几何意义的公理化代数概念，也是一个基的加法运算，数乘向量运算，还有V3×V，到的本的数学工具，它是实践的需要，也是数学自一个代数运算。这个代数运算还满足特殊的四个身内部发展的需要。欧氏空间的定义依赖于内条件。有了这一数学背景材料，我们提出以下的积，而内积是一个公理化的定义，因而我们先内积公理化定义。要了解内积。定义1设是实数域上一个向量空间，是到的首先从一个简单的数学例子谈起，在实数一个代数运算。如果

3、下列条件成立：域上的三维几何空间中任取两个向量仅，p，不(1)，卢，；++●+(2)f，卢=kf，卢；嫡设a；％li+yllj+zlk。~=x2i+y2i+z玉。(3)-I-卢，，^y)，^y；令·~=xlx2+ytyz+zg2(4)，)I>0，当且仅当O／为零向量时则在，中，这样规定的两个向量的运算满等号成立。这里，p，为的任意向量，k为足以下四个条件：任意实数。则称．厂是上的一个内积。(1)0[·卢=卢·a；注：为了简化处理，运算厂作用于两向量仅，(2)·卢=k·；．B后所得实数，卢记为，以后我们(3)·7=Or·

4、·；就用<>代表内积运算符号。(4)a·≥D，当且仅当0c为零向量时等号例1在尺中，任取OL-(西，p=(YJ，成立。这里，p，为的任意向量，k为任意yy。收稿日期：2013-10-08作者简介：方又超(1977一)，傈僳族，云南迪庆人，德宏师范高等专科学校数学系讲师，硕士研究生。研究方向：半群。101方又超：公理化定义的欧氏空闷熬堂握{{定=2％fy【+3x4x3o空间中两个向量的夹角。不难验证．这样规定的运算是R，上的一个内积。定义4【1】设是一个欧氏空间，a，卢∈V，定义2设y是实数域尺上一个向量空间令c。s，

5、则称为向量与卢的夹角。且在上有一个内积运算<>。则称对于这例5在欧氏空间C【一1，1】中，求向量个内积来说作成一个欧氏空间。与的夹角。如同学习向量空间一样，我们用代数系统符解：设与的夹角为0，由于<，>=号；+·<>；R)表示欧氏空间。因而若要准确把握欧氏空间，关键要把握住上的内·Fdx=J一。Fd~-0，所以cos8=黼-0，积运算方式。例2在中，任取d=，：，⋯，，即。p=』，y2，⋯，)在欧氏空间中。我们还可以定义两向量的距规定<，卢>=xly~+xzy2+⋯，，则按离。这个内积作成一个欧氏空间，以后提到欧氏空间定义5tt

6、l设y是一个欧氏空间，a，卢∈尺n。永远指的是按此内积作成的欧氏空间I”。，令d，=la—pI，则称dfa，为a白3在啐C【位，b1书．f(％)。g(。c)EC与的距离。．【Q．b1可以看出．这样定义的距离公式与平面或空rb规定<，g>=I厂gdx，则间上两点间的距离公式是一致的。因而我们把两点A，)，』J，B，)，间的距离c，67按此内积作成一个欧氏空间It]。在内积的公理化定义中，条件的非负性很重、／称为欧氏距离。最后我们给出一个与二次型的矩阵写法有密要．我们可以利用内积定义欧氏空间中向量的长切联系的例子。度。定义3【-】设

7、是一个欧氏空间，口∈V，o例6请把下列算式<』Ot22+⋯Ot，Z』+f2届⋯>=的长度l0I=N／。例4在欧氏空间中C／o，2可中，向量∑∑<％i=1Ji=1sinx的长度写成矩阵乘法的形式。Isinxl=、／由于内积具有分配运算律。上面算式的左边厂————一：、／1sin2xdx=、／。项同下面的算式有相同的算法，，JI：a⋯+k口m)(Z』b』+12b2+⋯Z6，其中氟啦+6∈R，在欧氏空间中，为了定义两向量的夹角，我i=1，2，⋯m，j=l，2，⋯，l；们给出如下的定理。这个代数式可记为定理【lJ设为一个欧

8、氏空间，Ot，卢∈V，则有。≤<卢，／3>。这是著名的柯西—施瓦茨不等式。它在欧氏c，，⋯尺空间中表示为柯西不等式：(嘶bl-I-a+b：+⋯)[三]⋯][至)。≤++⋯。+6⋯6。，在欧氏rbalbl口l空间C／a，中表示为施瓦茨不等