欧几里德空间知识点总结.ppt

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1、计算题1、求正交矩阵2、对称矩阵正交对角化3、正交变换求二次型的标准形证明题1、正次矩阵与正交变换的相关性质2、对称矩阵与对称变换的相关性质3、实对称矩阵的定性主要题型一、正交矩阵1、设则下列条件等价:A为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的标准正交基.A的行向量组是欧氏空间的标准正交基.A可以看作是两组标准正交基的过渡矩阵.③A为正交矩阵②A为正交矩阵①A为正交矩阵2正交矩阵的判定方法3、运算性质②正交矩阵的转置/逆为正交矩阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵①正交矩阵之积/幂为正交矩阵例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为1或－1。例1、P193-194习

2、题1、2、3、4、11例3、（1）设A为一个阶实矩阵且，证明A可以分解成　，其中是正交阵，为上三角阵，且，并证明这个分解是唯一的。（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵P，使。（P188习题7）（R称为正线上三角）二、正交变换1.定义欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，则称为正交变换.1）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换．注.n维欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．下述命题是等价的：2、设　是n维欧氏空间V的一个线性变换.4）保持向量间的距离不变，即3）保持向量长度不变，即1）是正交变换；5）把标准正交基变成标准正交基；

3、6）在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵；保持向量的内积不变,即2）注维欧氏空间中正交变换的分类：设　维欧氏空间V中的线性变换　在标准正交基1）如果　则称　为第一类的（旋转）;2）如果　则称　为第二类的（反射）．下的矩阵是正交矩阵A，则则是第二类正交交换(称之为镜面反射)（P194习题6）如:设　是欧氏空间V中的一个单位向量，定义例2、证明第二类正交变换必有特征值－1。（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）例1、P194习题5、6、8、三、实对称矩阵与对称变换1.实对称矩阵的标准形1）实对称矩阵的特征值为实数；实反对称阵的特征值为0或纯虚数;2）实对称矩阵不同特征值的特征向

4、量正交；3）(定理)对　　　　　　　总有正交矩阵P，使4)正定的充要条件是A的特征根全大于0.(i)求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组求解步骤求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间　的一组基．正交基把它们按正交化过程化成　的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组所以将的分量依次作矩阵P的第1，2，…，n列，使　　　　　　为对角形．标准正交基．2.对称变换定义欧氏空间V的线性变换，如果则称为对称变换.注.对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交；下述命题是等价的：3、设　是n维欧氏空间V的一个线性变

5、换.1）是对称变换；3）在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵；2）4、设为欧氏空间V上的一个对称变换，则在V中必存在一组标准正交基使得在这组基下的矩阵的对角矩阵。例1、P199习题1、2、3、例2、设A的特征值为1，－1,0对应1，－1的特征向量依次为求A。(类似P198例3、P199习题4)例3、P199习题4例4、设A是n阶实对称阵，（1）当时，证明存在正交矩阵P，使得（2）如果，证明存在正交阵P,使得思考：证明存在可逆阵P,使得（1）当时，证明存在可逆阵P，使得（2）当时，例6、（1）设　　　　　为反对称矩阵，证明：可逆，且是正交矩阵.（注意：反对称实矩阵的特征值只

6、能是0或纯虚数）（P395习题16）（2）设例7、设是维欧氏空间的一个对称变换,证明：　　是　　　的正交补。P199习题8例8、P199习题10例9、设是维欧氏空间的一个线性变换。证明如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（1）（2）（3）是单位变换.是对称变换;是正交变换;例10、(1)证明：两个对称变换的和还是对称变换。(2)两个对称变换的乘积是不是对称变换？(3)找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.定理任一n元实二次型都可以通过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数　　为A的全部特征值．四、二次型的标准形及实对称阵的定性设　　为实对

7、称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的(iv)A为不定的且(v)实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．(vi)当A退化时,n－秩(A)是0为A的特征值的重数.例1、设二次型通过正交线性替换化为标准形求a,b及所用的正交线性替换。（类似P199习题5）例2、设A是正定实对称矩阵，证明：例3、设都是实对称矩阵，（1）证明：存在正交矩阵，使得的充分必要条件是的特征多项式的根全部相同.（2）如果是正定矩阵，证明存在一个实可逆矩阵P，使得（P199习题11）（P200