欧几里德空间(定稿)

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1、欧几里德的数学情怀――译者导言一，欧几里德生事欧几里德大约生活在约公元前330－前275年之间。除“几何学原本”外，还有不少著作，如“已知数”、“图形的分割”、“纠错集”、“园锥典线”、“曲面轨迹”、“观测天文学”等，遗憾的是除了《几何学原本》以外，这些都没有保成下来，消失在时空的黑暗之中了。从某个意义上说，这增加了人类的黑暗。仅留世的《几何学原本》，已让我们震撼了２千余年。　欧几里德的生平也已失传，稀少的记载表明，早年在雅典受教育，熟知柏拉图的学说。公元前３００年左右，受托勒密王（前３６４-前２８３）之邀，到埃及统治下的亚历山大城工作，长期从

2、事教学、研究和著述。涉猎数学、天文、光学和音乐等诸领域方面。后人知道的一部《几何学原本》，共有１３卷，希腊文原稿也已失传，现存的是公元４世纪末西翁的修订本和１８世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。这部西方世界现存最古老的科学著作，为２０００年来用公理法建立演绎的数学体系找到了源头。德摩根曾说，除了《圣经》，再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者，被译成如此多种语言。从１４８２年到１９世纪末，《原本》的各种版本竟用各种语言出了１０００版以上。明朝万历年间(１６０７)，徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版，定名为“几何学原本

3、”。“几何”这个数学名词就是这样来的。《几何学原本》同时也是中国近代翻译的第一部西方数学著作。康熙皇帝将这个仅有前６卷的版本书当成智力玩具，把玩了一生，但估计其理解也十分有限。古籍中记记载了两则故事：托勒密国王问欧几里德，有没有学习几何学的捷径，欧几里德答道：“几何无王者之道。”意思是，在几何学里没有专门为国王铺设的大路。这句话成为千古传诵的箴言。另一个故事说：一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何之后将得到些什么。欧几里德对身边的奴隶说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这两则故事的，与他的光辉著作一样，别有高深的含义。二，《几

4、何学原本》的贡献《几何学原本》从少数“自明的”定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。成为人类文明的一块极至瑰宝，开造了人类认识宇宙空间，认识数量关系的源头，为人类历史上的科学杰作。这位希腊古典文化哺育起来的学者，运用惊人的才智，完成了演绎知识体系。逻辑并不是欧几里德开创的，而是另一个希腊天才亚里斯多德，他得著名的水段论，开创了逻辑的基本面貌，提出了逻辑的基本建构。欧几里德是第一个将三段论应用于实际的知识

5、体系构建的人，他铸造了一部完整的逻辑演绎体系。使逻辑得以具体的形状。他构成了希腊理性最完美的纪念碑。他的贡献就像太阳一样光辉灿烂。两千余年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何学原本》作为根据。“欧几里德”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里德几何学。《几何学原本》对世界数学的贡献主要是：确立了数学的基本方法学。1.  建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法。2.将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。３，创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。相对《原本》中的几

6、何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。《原本》的丰碑性还在于，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，人类的知识建构，找到了一个有效的方法。整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此。三，《几何学原本》介绍　在《几何学原本》中，欧几里德首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整体大于部

7、分”以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富夺彩。比如有平面作图，勾股定理，余弦定理，园的各种性质，空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体，棱锥、棱柱、园锥、园柱，球等问题，此外还有比例的理论，正整数的性质与分类，无理量等等。公理化结构是近代数学的主要特征，而“几何学原本”则是公理化结构的最早典范。欧几里德创造性地总结了他以前的古希腊前人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此内在联系的有机的宏伟大厦。书共分13卷，有5条公设、5条公理、119个定义和4

8、65个命题，构成历史上第一个数学公理体系。各卷的内容大致可分类如下：第一卷几何基础篇23个定义、48个命题；另外提出了5条公设和5条公理，但之后就再没