欧几里德空间典型习题解析.doc

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1、5欧几里德空间解本章题时，请读者一定要对题干要求首先展开相应的空间想象或在草稿纸上构画出相应的直观图面来，这样一些抽象的东西就会变得简单了，而相应的准确率也就提高上来了。5.1向量1、设，则解：（因为）点评：熟练掌握关于向量内积、外积以及混合积的向量运算时解本节题目的关键。2、若向量垂直于，并且向量垂直于，试求向量与的夹角。解：由向量垂直于由向量垂直于联立*式与式把式代入*式又与的夹角点评：关于向量位置关系问题也是本节的一个重要考察知识点，其中关于向量间的位置关系我们有以下结论：设；；其中若又一个为零，如，应理解为。与共线不全为零的使；共面不全为零的使得。5.2直线、平面及曲

2、线的投影方程关于本节，如何根据已知条件求直线方程，平面方程以及点、直线、平面之间的距离或相互之间的距离是本节的核心问题。1、求过点，平行于平面，且与直线相交的直线方程。解：设所求直线方程为，则直线的方向矢量为，平面的法矢量，由直线平行于该平面由直线平行与直线相交联立*式与式得，不妨令，得故所求直线方程为。点评：在求解相关问题时，倘若题设条件有一个已知点，则一般应首先考虑建立直线的参数方程；另外，在求两直线的交点，异面直线的距离等方面的问题时，通常也时借助于直线的参数方程。1、求过直线且垂直于平面的平面方程。解：由已知条件，知直线的方向矢量，平面的法矢量为，若设所求平面的法矢量

3、为，有已知条件知且，故可令于是所求平面方程为，即。点评：对于求平面方程，若所给条件中已知平面过某点，则一般用平面的点法式方程求解，此时求平面的法矢量就变为该问题的关键；另外，倘若题设条件中有两相交的平面，则一般用平面束方法处理比较方便（下题就是运用此方法来求解）1、求通过两平面和的交线，且与平面垂直的平面方程。解：设所求平面方程为即，因为该平面与平面垂直，所以两平面的法矢量垂直，即得我们不妨取，代入*式，化简即得所求平面方程。2、判断直线和是否在同一平面上，若是，则求其交点；否则，求它们的距离。解：直线与的方向矢量分别是，并且它们分别过点我们有：直线与共面共面因为=所以直线与

4、共面。下面求它们的交点，为此令即，代入中，得代回*式可得，即直线与的交点为。1、判断直线和是否在同一平面上，若在同一平面上求其交点；否则，求其距离。解:直线与的方向矢量分别为两直线分别通过，，直线与为异面直线；直线与的参数方程分别是，，设两直线间的距离为d，则，令，由微积分知识，我们可知当时两直线距离d最小且d=.点评：上述两题都是关于两直线的位置关系的判断以及求两直线间的距离和交点问题，这也是本章的一个重点难点，解题关键是利用“混合积”方法首先正确判断直线间的关系。1、求直线，在三个坐标平面以及平面上的投影方程。解：i)我们已知直线L的参数方程，那么该直线在三平面上的投影分

5、别是，，；ii)我们先求出通过直线L且垂直于平面的平面的方程，然后联立方程便得所求投影方程直线L的方向矢量，平面的法矢量，该平面的法矢量为，则由投影柱面的意义得，又平面通过直线L，故直线L上的点在平面上，于是，平面的方程为即所以，L在平面上的投影方程为点评：一般投影问题的考察方式很固定，题目难度也不大，只要紧紧抓住投影方程的定义即可。5.3曲面方程本节内容繁多，但重点考察的无疑就是些常见的柱面方程及可化为标准二次方程的曲面方程。因此在牢固掌握（曲面方程及图形）好一些常见柱面方程（圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面），标准二次方程（椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆的抛物面

6、，双曲抛物面，二次锥面）的同时，应深刻理解柱面以及一般二次曲面的定义；另外，旋转曲面方程及其求法也是本节的一个重要考察点。1、设准线方程为母线的方向数为，求这个柱面。解：由柱面方程定义，我们任取该柱面得准线上的任意一点，那么，可设柱棉纺称为，令，将其代入已知得准线方程得：，消去t便得柱面方程思路提示：解此类问题时，我们应首先判断该准线的类型，然后根据已知条件设处所求柱面方程（一般含有参数），最后我们想办法消去该参数即得所求柱面。2、求平面曲线分别绕x轴，y轴旋转的旋转曲面方程。解：有旋转曲面方程定义，我们知当平面曲线绕某轴旋转时，则该坐标轴所对应的变量不变，可得：绕x轴旋转的

7、旋转曲面方程为；绕y轴旋转的旋转曲面方程为。评析：关于平面曲线绕某坐标轴旋转的曲面方程的求法我们有一个固定的公式变换，这一般不会出错；但当所绕直线不是坐标轴而是某给定直线方程时，则需要我们紧紧抓住旋转曲面的定义和形成过程方可求解这时我们需要注意的地方。