广义坐标形式的虚位移原理

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1、第4节广义坐标形式的静力学普遍方程静力学普遍方程的特点作为对比，单个质点平衡时F=0在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此●若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：广义坐标的概念自由度的概念●如果虚位移都是独立的，会有什么结果？●怎样选取独立的坐标？广义力的概念不独立能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标。广义坐标数为：根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独立参数作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。广义坐标空间质点系平面质点系N－

2、－质点的数目；r－－约束方程的个数空间刚体系平面刚体系N－－刚体的数目；r－－约束方程的个数实例分析利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足OxyrlAB把A、B看成是两个可运动的质点，广义坐标数为：N=2OA、AB长度为约束，B点上下运动也受约束，共有3个约束方程r=3如果考虑系统有A、B、O共3个质点，N＝3，则约束也增加，r＝5，广义坐标数k＝2N－r＝1因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？OxyrlAB如果把杆OA、杆AB、滑块B看成是刚体，则原先

3、的A、B、O点看成是约束，广义自由度该如何计算？3个刚体，N＝3约束方程：每个平面铰链有2个约束方程，共6个；对滑块B，不能转动，不能上下运动，有2个约束方程；r=6+2=8广义坐标数目K=3N–r=9–8=1广义坐标的计算有不同的方法，结果都应该相同独立的虚位移数就是质系的自由度。自由度N–质点总数r–完整约束的总数；s–非完整约束的总数；自由度数目比较：广义坐标数为：如果是完整约束，k＝n如果是非完整约束，k>n完整约束的例子OxyrlAB广义坐标数目为1，自由度数为1刚性杆广义坐标数目为1，自由度数为1弹

4、簧广义坐标数目为2，自由度数为2为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为非完整约束的例子独立的广义坐标数为5；自由度为3。广义坐标形式的静力学普遍方程Qj称为对应于广义坐标qj的广义力。广义力是广义坐标和时间的函数。广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。广义力与真实力相比，数目大为减少。具有完整理想约束的质系，其平衡的充分必要条件是：所有的广义力等于零。静力学普遍方程上述结论的条件是什么？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？例1惰钳机

5、构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力P的作用，问下部力Q的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中为已知角。解取为广义坐标例2均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为和，重量为均为P。在B端作用一水平力，求平衡时两杆与竖直方向夹角取a、b为广义坐标解解析法解几何法首先取再取例3已知：m1,m2,M,,,且接触面光滑。求：平衡时，m1,m2,M的关系。M解二自由度的平衡问题选独立的广义坐标x1,x2m2gm1gMgM第5节主动力有势情况下的静力学普

6、遍方程力场若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与其速度无关，则称该空间区域存在力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。若存在标量函数V，只依赖于质点Pi的坐标xi、yi、zi，并且质点Pi在力场中所受的力等于则称力场有势，函数V为势能，Fi为有势力。主动力有势情况下的静力学普遍方程设质系所受的主动力有势：质系的平衡方程对主动力有势的质系，其势能在平衡位置取驻值。拉格朗日定理：对完整保守系统若势能函数在平衡位置取孤立极小值,则该平稳位置稳定。qVqV结果与前相同。Ma已知：m1,

7、m2,M,,,且接触面光滑。求：平衡时，m1,m2,M的关系。例1例2已知：灯G的质量为m，A、C为铰链，B为套筒。杆的质量不计。当=180时弹簧为原长。求：当=120系统处于平衡时，弹簧刚度k应具有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。解系统处于稳定平衡位置作业5－155－165－255－27