11.6圆锥曲线的综合问题

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1、(§11.6文)（§12.6理）圆锥曲线的综合问题知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点，它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题：一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质

2、；（2）求平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：（1）求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性，使运算简捷。（2）注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。（3）注意用圆锥曲线的定义解题，有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。（4）对称问题是高考的热点，注意关于原点、轴、轴、直线对称

3、的两曲线方程的特点。（5）解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.疑难点、易错点剖析1．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把

4、所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．直击考点考点一直线与抛物线的综合问题【例1】如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求∠MON的大小.剖析：易知直

5、线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°.（1）解：直线l的截距式方程为+=1.①（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0.②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.所以+===.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2p

6、x2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以OM⊥ON，即∠MON=90°.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，∴22=2p·1，得p=2.故所求抛物线的方程是

7、y2=4x，准线方程是x=－1.（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=（x1≠1），kPB=（x2≠1）.∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=－kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1，①y22=4x2，②∴=－.∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.由①－②得直线AB的斜率kAB===－=－1（x1≠x2）.考点二函数最值与椭圆的综合问题【例2】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率