高等数学(上)定义定理归纳(同济六版)

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1、高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（ε不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式xn−a<ε都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为limxn=a,或xn→an(→∞)n→∞（2）（数列极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。（4）（收敛数列的保号性）如果limx=a,且a>0(或a<

2、0),那么存在正整数N>0,当n>N时,都有x>0(或x<0).nnnn→∞（5）（收敛数列保号性的推论）如果数列{xn}从某项起有xn≥（0或xn≤0）,且limxn=a,那么a≥0(或a≤0).n→∞（6）（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）设函数fx()在点x的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数（ε不论它0多么小），总存在δ>0,使得当x满足不等式0

3、，记作lim()fx=Afx或()→A0x→x0(当x→x)0（8）（函数极限存在的条件）函数fx()当x→x时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即0−+fx()=fx().00（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）设函数fx()当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数（ε不论它多么小），总存在正数X,使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值fx()都满足不等式fx()−A<ε,那么常数A就叫做函数fx()当x→∞时的极限，记作lim()fx=Afx或()→Ax→∞(当x→∞).（10）（函数极限的唯一性）如果lim()fx存在，那么这极限唯

4、一.x→x0（11）（函数极限的局部有界性）如果lim()fx=A,那么存在常数M>0和δ>0,使得当00(或A<0)，那么存在常数δ>0，使得当00(或fx()<0).（13）（函数极限局部的保号性2）��如果lim()fx=AA(≠0),那么就存在着x的某一去心邻域Ux()，当xUx∈()时，就有000x→x0Afx()>.2（14）（函数极限局部保号性的推论）如果在x的某一去心邻域内fx()≥0(或fx()≤0),而且lim()fx=A,那

5、么A≥0(或A≤0).0x→x0（15）（函数极限与数列极限的关系）如果极限lim()fx存在,{xn}为函数fx()的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足：xn≠x0x→x0+(n∈N),那么相应的函数值数列{fx()n}必收敛，且lim()fxn=lim().fxn→∞x→x0（16*）（Heine归并定理）极限lim()fx存在的充分必要条件是：对任何数列{xn},满足xn→xn0(→∞)且xn≠x0x→x0+(n∈N),有lim()fx存在.nn→∞（17）（无穷小的定义）如果函数fx()的极限limfx()=0,那么称函数fx()为当x→x(或x→∞)时的无穷小.0x→x0(x

6、→∞)（18）（无穷小与函数极限的关系）在自变量的同一变化过程x→x(或x→∞)中，函数limfx()=A的充分必要条件是0x→x0(x→∞)fx()=A+α,其中α是无穷小.（19）（无穷大的定义）设函数fx()在x的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）.如果对于∀M>00(不论它有多大),∃>δ0(或∃X>0),使得当0X)时，总有fx()>M成立,0则称函数fx()为当x→x(或x→∞)是的无穷大.0（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1在自变量的同一变化过程中,如果fx()为无穷大,则为无穷小;反之，如果fx()为fx()1无穷小，且fx()≠0,

7、则为无穷大.fx()�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）有限个无穷小的和也是无穷小.（22）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（23）常数与无穷小的乘积是无穷小.（24）有限个无穷小的乘积也是无穷小.（25）（函数极限运算法则）如果lim()fx=A,lim()gx=B,那么x→∞x→∞(1)lim[fx()±gx()]=lim()lim()fx±gx=AB±;x→∞x→∞x→∞(2)lim[()fxgx⋅()]=lim()li