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1、高等数学归纳(第一章~第三章)2010126137彭伟奕第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合●集合概念:集合(集)是指具有某种特定性质的事物的总体。●元素(元):组成某个集合的事物称为该集合的元素(元)。(a属于A,记作a∈A;a不属于A,记作aA。)●表示集合的方法:(1)列举法:把集合的全体元素一一列举出来,例:A=(2)描述法:集合M=,例:M=●集合间关系:A包含于B(AB),A不包含于B(AB)A是B的真子集(),A等于B(A=B),空集是任何非空集合的真子集。●集合的运算:并,交,差AB=IA为A的余集或补集,亦记●集合运算法则:
2、交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律:直积(笛卡尔乘积):AB={(x,y)
3、x∈A且x∈B},例:R×R={(x,y)
4、x∈R,y∈B}为XOY面上全体点的集合,R×R记作。●区间与邻域:(1)区间开区间:(a,b),a,b为开区间(a,b)的端点。闭区间:[a,b]半开区间:[a,b﹚,﹙a,b](2)邻域:以a为中心的任何开区间称以点a为邻域,记作U(a)点a的δ邻域,记U(a,δ),其
5、中δ为任一正数,U(a,δ)={x
6、a-δ<x<a+δ}={x
7、
8、x-a
9、<δ}点a为邻域的中心,δ为邻域半径。点a的去心δ邻域,,为把邻域中心去掉,={x
10、0<
11、x-a
12、<δ}点a的左邻域:{a-δ,a},点a的右邻域:{a,a+δ}二、映射●定义:X,Y两非空集合,如有一对应法则f使X中每一个元素x,按f,Y中有唯一确定的元素y一之对应,则称f为从X到Y的映射,f:X,其中y为元素x(在映射f下)的像。●构成映射的三要素:(1)定义域,=X;(2)值域,Y;(3)对应法则f,对于每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应。满射、单射、双射l从X
13、到Y上的满射:任一y都是x中某元素的像。lf为x到y的单射:x中任,且l双射:f为一一映射(或双射):f既单射,又双射。●逆映射与复合映射:1)设f是X到Y的单射,则由定义,对每一个y∈,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可以定义一个从到X的新映射g,即g:X对每一个y∈,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射,记作,其定义域,值域。*只有单射才有逆映射。●复合映射:设两个映射g:X,f:,其中,则由映射g合f可以定义出一个从X到Z的对应法则,他将每一个x∈X映成f[g(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X
14、到Z的映射,这个映射称为映射g合f构成的复合函数,记作,即*映射g与f成复合映射的条件:g的值域必须包含在f定义域内,即:三、函数●定义:设数集D,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为y=f(x),x∈D其中x称为自变量,y因变量,记作,即.●值域:或f(D)即f与f(x)的区别:f表示x与y的对应法则,f(x)表示x与对应的函数值。●表示函数的方法:表格法;图形法;解析法(公式法)●构成函数的要素:定义域及对应法则f。(如果两个函数定义域和对应法则都相同,那么这两个函数就是相同的)●函数的几种特性(1)函数的有界性:X,使则f(x)有上界
15、X,使f(x)则f(x)有下界X,使
16、f(x)
17、则f(x)有界如这样的M不存在则f(x)无界.(2)函数的单调性:设,I,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调增加,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调减少。单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。(3)函数的奇偶性:前提关于原点对称,如果,f(-x)=f(x)则f(x)为偶函数,如果,则f(x)为奇函数(4)函数的周期性:设=D,存在一正数L使任一x有(xL)D,且f(x+L)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,L为周期,通常说的周期是最小正周期。●反函数与复合函数(1)反函数:设函数f
18、:Df(D)是单射,则它存在逆映射,称此映射为f的反函数。于是。一般记为,x。F(x)称为直接函数,两函数关于y=x对称。(2)复合函数:设y=f(u)u=g(x),则有y=,x称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域,变量u称为中间变量*构成条件:函数g的值域●函数的运算:设函数f(x),g(x)的定义域依次为,则可定义一函数和(差)fg:;积:商:。●初等函数(1)幂函数:y=(是常数),(2)指数函数:(3)对数函数:(4)三角函数:如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=,y=cscx=(5)反三角函
19、数:如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。基本初等函数:有常数和基本初等函数经过有